Expresión analítica de esta integral

Question

Usando la integración de normalización para variables aleatorias gaussianas, encuentre una expresión analítica (solución en forma cerrada) para la siguiente integral

$I=\int^{\infty}_{-\infty}e^{(-(ax^2+bx+c))}dx$, donde $a \gt 0, b$ y $c$ son constantes

Hay una pista debajo de la pregunta, pero no sé cómo usar esta pista para calcular esta pregunta

Pista: Utilice la integración gaussiana $\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\int^{\infty}_{-\infty}e^{- \frac{1}{2} \frac{(x-m)^2}{\sigma ^2}}dx=1$

Answer 1

Puedes escribir: $$a x^2 +b x +c= a \left(x+\frac{b}{2a} \right)^2+c-\frac{b^2}{4a}$$ Así, por linealidad de la integral: $$I=e^{-c+\frac{b^2}{4a}} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}\frac{(x+\frac{b}{2a})^2}{1/(2a)}} dx$$ lo cual es exactamente la forma necesaria.