$\DeclareMathOperator\E{\mathbb E} \DeclareMathOperator\Var{\mathrm{Var}} \newcommand\R{\mathbb R} \DeclareMathOperator\N{\mathcal N} \DeclareMathOperator\tr{\mathrm{tr}}$Suponga $X \sim \N(\mu, \Sigma)$ donde $\mathrm{supp}(X) = \R^n$. Podemos suponer $\Sigma$ a ser nonsingular. ¿Qué es $\E \lVert X \rVert$?
Si $\Sigma = \sigma I$, $\lVert X \rVert / \sigma$ sigue un noncentral chi distribución, que ha conocido la media (en términos de un polinomio generalizado de Laguerre). Que se da en este caso $$ \E \lVert X \rVert = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}} \; L_{{1/2}}^{{(n/2-1)}}\left({\frac {-\lVert \mu \rVert^{2}}{2 \sigma}}\right)\, ;$$ si asumimos, además, que $\mu = 0$, entonces se convierte en una distribución chi y $$ \E \lVert X \rVert = \sigma \sqrt {2} \, \frac{\Gamma((n+1)/2)}{\Gamma(n/2)} .$$
En el caso general, tenemos un fácil límite superior a través de la desigualdad de Jensen. Dejando $C^T C = \Sigma$$Z \sim \N(0, I)$: \begin{align} \left( \E \lVert X \rVert \right)^2 &< \E \lVert X \rVert^2 \\&= \E \lVert \mu + C Z \rVert^2 \\&= \lVert \mu \rVert^2 + 2 \mu^T C \E Z + \E \tr( Z^T C^T C Z ) \\&= \lVert \mu \rVert^2 + \tr( C^T C \,\E Z Z^T ) \\&= \lVert \mu \rVert^2 + \tr( \Sigma ) ,\end{align} donde la desigualdad es estricta, ya hemos asumido $\lVert X \rVert$ es no degenerada.
También tenemos un límite inferior de la misma manera: desde $\lVert \cdot \rVert$ es convexa, $\E \lVert X \rVert \ge \lVert \E X \rVert = \lVert \mu \rVert$. (Yo previamente había algo más complicado aquí, basado en la delimitación de la varianza de la función de $z \mapsto \lVert \mu + C z \rVert$, pero resultó en una peor obligado.)
Podemos apretar estos límites o, preferiblemente, encontrar una expresión exacta para $\E \lVert X \rVert$ en el caso general? Si no, ¿qué acerca de la diagonal, pero no esférica caso, o $\mu = 0$ o de otras interesantes subcases?
Ha habido cierta discusión en este sitio de la distribución de $Y = \lVert X \rVert^2$, sobre todo aquí y aquí. Si tenemos la distribución completa de la $Y = \lVert X \rVert^2$, podemos ser capaces de encontrar $\E \sqrt{Y}$. Que la distribución es bruto, a pesar de que, analíticas y de respuestas parecen difíciles.
