Forma cerrada para $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n\left(1+\sqrt[2^n]{2}\right)} $

Question

Aquí está otra suma infinita te necesito ayuda con: $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n\left(1+\sqrt[2^n]{2}\right)}. $$ me dijeron podría ser representado en términos de funciones elementales y enteros.

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\frac{2^{-n}}{2^{2^{-n}}-1}-\frac{2^{-(n-1)}}{2^{2^{-(n-1)}}-1} = \frac{2^{-n}}{2^{2^{-n}}+1} $$

Así pues, tenemos una suma telescópica. Sin embargo, tenga en cuenta que

$$\lim_{n \to \infty} \frac{2^{-n}}{2^{2^{-n}}-1} = \frac{1}{\log{2}}$$

Por lo tanto, la suma es

$$a_1-a_0 + a_2-a_1 + a_3-a_2 + \ldots + \frac{1}{\log{2}} = \frac{1}{\log{2}}- a_0$$

donde

$$a_n = \frac{1}{2^n \left ( 2^{2^{n}}-1\right)}$$

o

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n \left ( 1+ \sqrt[2^n]{2}\right)}= \frac{1}{\log{2}}-1$$

Answer 2

Observe que $$ \frac1{2^n(\sqrt[2^n]{2}-1)} -\frac1{2^n(\sqrt[2^n]{2}+1)} =\frac1{2^{n-1}(\sqrt[2^{n-1}]{2}-1)} $$ Podemos arreglar esto $$ \left(\frac1{2^n(\sqrt[2^n]{2}-1)}-1\right) =\frac1{2^n(\sqrt[2^n]{2}+1)} +\left(\frac1{2^{n-1}(\sqrt[2^{n-1}]{2}-1)}-1\right) $$ y para $n=1$, $$ \frac1{2^{n-1}(\sqrt[2^{n-1}]{2}-1)}-1=0 $$ por lo tanto, la suma parcial es $$ \sum_{n=1}^m\frac1{2^n(\sqrt[2^n]{2}+1)} =\frac1{2^m(\sqrt[2^m]{2}-1)}-1 $$ Tomando el límite de $m\to\infty$, obtenemos $$ \sum_{n=1}^\infty\frac1{2^n(\sqrt[2^n]{2}+1)} =\frac1{\log(2)}-1 $$