¿Función indicadora de una función entera de tipo exponencial finita?

Question

Sea $\Phi(z)$ una función entera de tipo exponencial finito. La función indicadora de $\Phi(z)$ se define como $$h_{\Phi}(\theta)=\overline{\lim_{r\rightarrow\infty}}\frac{\ln|\Phi(re^{i\theta})|}{r}\;,~\theta\in\mathbb{R}\;.$$ La función indicadora de $\Phi(z)$ caracteriza esencialmente el crecimiento de $\Phi(z)$. Necesito calcular la función indicadora de la función $$F(z)=\sum_{j=1}^{m}e^{\lambda_jz}f_{j}(z)\;,$$ donde $f_{j}(z)$ son polinomios reales, y $\lambda_1<\lambda_2<\cdots <\lambda_m$. Agradecería cualquier ayuda paso a paso. Además, me gustarían algunas ideas sobre cómo tratar la función particular $$F(z)=(a_3z^3+a_2z^2+a_1z+a_0)e^{z\tau}+(b_2z^2+b_1z+b_0)\;,$$ donde $a_j,b_j\in\mathbb{R}$, y $\tau\in\mathbb{R}^{+}$. Aprecio el trabajo monumental de B. Ya. Levin, pero no veo cómo calcula las funciones indicadoras - en un proceso claro paso a paso.

Answer 1

Obtener la respuesta no es tan simple. Según Levin, B. Ya. Conferencias sobre funciones enteras. En colaboración y con un prólogo de Yu. Lyubarskii, M. Sodin y V. Tkachenko. Traducido del manuscrito ruso por Tkachenko. Traducciones de Monografías Matemáticas, 150. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xvi+248 pp. ISBN: 0-8218-0282-8 MR1400006 (97j:30001) (ver aquí), el diagrama de indicadores de $F(z):=\sum_{j=1}^{j=m} e^{\lambda_jz}f_{j}(z)$, donde $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ son números complejos, y $f_{j}(z), \,j=1,\dots,m,$ son polinomios, coincide con la envoltura convexa del conjunto $\{\overline{\lambda_1},\dots,\overline{\lambda_m} \}$. En el caso de lambdas positivas, esto es el segmento $I:=[\lambda_1,\lambda_m].$ Luego, el indicador $h_F(\theta)$ es igual a la función de soporte de $I$ (ver las definiciones en el enlace citado) que es $$\begin{cases}\lambda_m\cos\theta,\, \cos \theta \ge 0;\\ \lambda_1\cos\theta,\, \cos \theta < 0.\end{cases}$$