Una conocida prueba exagerada de la irracionalidad de $2^{1/n}$ ($n \geqslant 3$ un número entero) usando el Último Teorema de Fermat es la siguiente: Si $2^{1/n} = a/b$, entonces $2b^n = b^n + b^n = a^n$, lo cual contradice el Último Teorema de Fermat. (Ver this, y ver este comentario para entender por qué este es un argumento circular al usar la prueba del ULT de Wiles)
El mismo método, por supuesto, no se puede aplicar para demostrar la irracionalidad de $\sqrt{2}$, ya que el ULT no dice nada sobre las soluciones de $x^2 + y^2 = z^2$. A menudo este hecho se afirma humorísticamente como, "ULF no es lo suficientemente fuerte para probar que $\sqrt{2} \not \in \mathbb{Q}$." Pero claramente, el fracaso de un método específico que funciona para $n \geqslant 3$ no descarta que algún otro argumento podría funcionar en el caso $n = 2$ en el cual la irracionalidad de $\sqrt{2}$ está relacionada con una ecuación tipo Fermat.
(Por ejemplo, si supiéramos que existen enteros $x,y,z$ tales que $4x^4 + 4y^4 = z^4$, entonces con $\sqrt{2} = a/b$, tendríamos $a^4 x^4 / b^4 + a^4 y^4 / b^4 = z^4$ y por lo tanto
\begin{align} X^4 + Y^4 = Z^4, \quad \quad (X, Y, Z) = (ax, ay, bz) \in \mathbb{Z}^3, \end{align}
una contradicción al ULT.)
¿Existe una prueba a lo largo de estas líneas que demuestre que $\sqrt{2} \not \in \mathbb{Q}$ usando el Último Teorema de Fermat?
