Unicidad de la estructura de grupo abeliano en un conjunto dado y algoritmos recursivos

Question

Si tenemos alguna función $f$ bajo $\mathbb{Z}$ y $$f(a, f(b, c)) = f(f(a, b), c)$$ $$f(a, b) = f(b, a)$$ $$f(a, 0) = a$$ $$f(a, -a) = 0$$ significa que $f$ es un grupo abeliano con un elemento identidad de $0$. ¿Es suficiente para probar que $f$ es la suma? En otras palabras, ¿es único dentro de un cierto dominio un grupo abeliano con un elemento identidad específico? De manera similar, ¿podría probarse la multiplicación si tuviéramos un grupo abeliano con un elemento identidad de $1$?

Más en general, estoy tratando de entender si es posible deducir un algoritmo (un conjunto de reglas recursivas simples e inequívocas) a partir de un conjunto de axiomas para alguna operación bajo un dominio (los axiomas podrían ser considerados como una forma de recursión ambigua). El primer paso es determinar si un conjunto de axiomas puede definir la unicidad de una operación. El paso más difícil es inferir los pasos recursivos específicos necesarios.

Answer 1

No, esto implicaría que todos los grupos contables (infinitos) son isomorfos (ya que los conjuntos subyacentes de dos grupos de este tipo están en biyección), pero no es el caso: Por ejemplo, tanto $(\mathbb{Z}, +)$ como $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +)$ son contables, pero no son isomorfos, porque el primero está generado por un solo elemento pero el segundo no lo está.