Simetrías de un polígono, según Grünbaum

Question

En ¿Son tus poliedros iguales que mis poliedros? por Branko Grünbaum, el autor (en cierto modo) define las simetrías de un polígono diciendo

Las clases más importantes histórica y prácticamente se definen por simetrías, es decir, por transformaciones isométricas del plano del polígono que mapean el polígono en sí mismo. En caso de que algunos vértices coincidan, las simetrías deben considerarse como consistente en una isometría emparejada con una permutación de los vértices.

En este documento, los polígonos se definen como secuencias cíclicas de puntos sin más restricciones (por lo que puede haber "bordes" que van de un punto a sí mismo, auto-intersecciones, etc.).

El ejemplo dado es un "cuadrilátero" que consiste en un triángulo equilátero donde un vértice se considera como dos vértices separados y consecutivos (Figura 2 en p. 465). La leyenda dice

Este polígono parece un triángulo equilátero, pero de hecho es un cuadrilátero con dos vértices coincidentes. Además de la identidad, la única simetría que admite es una reflexión (en un espejo vertical a través de los vértices coincidentes 3 y 4) emparejada con la permutación $(1 2)(3 4)$.

No entiendo muy bien cuál es la definición que está insinuando. Si tuviera que adivinar, sería algo así:

Una simetría de un polígono $V_1, \ldots, V_n$ en un espacio $X$ es una isometría $f : X \to X$ junto con una permutación $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ tal que $f(V_i) = V_{\sigma(i)}$.

Pero luego parece que tenemos tres simetrías además de la identidad aquí: si $f$ es la reflexión sobre el eje $Y$, entonces también podríamos tomar $\sigma = (1 2)$ en lugar de $\sigma = (1 2)(3 4)$. Y luego, por si fuera poco, podríamos incluir su producto, que consiste en la identidad emparejada con la permutación $(3 4)$.

¿Grünbaum realmente quiere decir que una simetría es una isometría para la cual existe tal permutación, en lugar de una isometría junto con tal permutación?

¿O hay alguna condición implícita que descarta las dos "simetrías" que he descrito? Si pensamos en este "cuadrilátero" como el límite degenerado de una secuencia de trapecios isósceles donde un lado se contrae gradualmente, entonces los trapecios no degenerados solo tienen una simetría. Anteriormente, Grünbaum estipula que, para una definición satisfactoria de un "poliedro,"

[l]a tipo combinatorio debe permanecer constante bajo cambios continuos del poliedro

sin decir exactamente qué significa "tipo combinatorio".

¿Alguien sabe exactamente cuál se supone que es la definición?

Answer 1

De hecho, creo que encontré la respuesta. Más adelante en el artículo encontré una definición correspondiente para el caso tridimensional:

Una simetría de un poliedro (geométrico) es una asociación de un mapeo isométrico del poliedro consigo mismo con un automorfismo del poliedro abstracto subyacente.

Y unas cuantas páginas antes,

Una simetría de un poliedro abstracto es un automorfismo inducido por permutaciones que conservan la incidencia de los vértices, las aristas y las caras.

No estoy claro en lo que significa "inducido por" aquí, pero si consideramos el grafo abstracto subyacente del "cuadrilátero" (que es simplemente un ciclo de 4), entonces $(1 2)(3 4)$ es un automorfismo de grafo pero $(1 2)$ y $(3 4)$ no lo son.

Así que sospecho que la definición está destinada a ser:

Una simetría de un polígono $\{V_1, \ldots, V_n\}$ en un espacio $X$ es una isometría $f : X \to X$ junto con una permutación diedral $\sigma \in D_{2n}$ tal que $f(V_i) = V_{\sigma(i)}$.

¿Les parece correcto a todos?