Propiedad universal del producto directo, verificación de la prueba

Question

Sea $I$ un conjunto. Para cada $i\in I$ se da un conjunto $X_i$, y para cada $j\in I$ denotamos $p_j:\prod_{i\in I} X_i\to X_j$, $p_j((x_i)_{i\in I}):= x_j$, la proyección j-ésima.

Si $X,Y$ son conjuntos, entonces $\operatorname{Hom}(X,Y):=\{\text{Función}\,\, f: X\to Y\}$. El conjunto de todas las funciones $f: X\to Y$.

Muestra que para cada conjunto $X$ la función $\varphi: \operatorname{Hom}(X,\prod_{i\in I} X_i)\to \prod_{i\in I}\operatorname{Hom}(X,X_i)$, $f\mapsto (p_i\circ f)_{i\in I}$ es una biyección.

En primer lugar, la afirmación es clara para $X=\emptyset$ ya que no hay nada que demostrar. Para $X\neq\emptyset$ procedo de la siguiente manera:

Para demostrar que $\varphi$ es inyectiva, debería ser fácil:

Sean $f, g\in \operatorname{Hom}(X,\prod_{i\in I} X_i)$ arbitrarias y $\varphi(f)=\varphi(g)$.

Quiero demostrar que $f=g$. Lo cual significa que $f(x)=g(x)$ para todo $x\in X$.

$\varphi(f)=\varphi(g)\Leftrightarrow (p_i\circ f)_{i\in I} = (p_i\circ g)_{i\in I}$

$\Leftrightarrow p_i((f(x)))_{i\in I}=p_i((g(x)))_{i\in I}$

$\Leftrightarrow f_i(x)=g_i(x)$ para todo $i\in I$.

[Donde $f_i(x)$ denota la i-ésima coordenada de $f(x)$]

$\Leftrightarrow f(x)=g(x)$ para todo $x\in X$.

$\Leftrightarrow f=g$.

Ahora tengo dificultades para mostrar que $\varphi$ es sobreyectiva. Intenté hacer un ejemplo para entender mejor lo que está pasando:

Entonces $X=X_1=X_2=\{1,2\}$.

Ahora tomo un elemento $(g, h)\in\prod_{i=1}^2 \operatorname{Hom}(X, X_i)$, donde $g(1)=1, g(2)=1$ y $h(1)=2, h(2)=2$.

¿Cómo puedo elegir una preimagen razonable?

Pensé que solo tomo la función $f\in \operatorname{Hom}(X, \prod_{i=1}^2 X_i)$ con $f(1)=(1,2)=(g(1), h(1))$ y $f(2)=(1,2)=(g(2), h(2))$

Entonces obtengo lo que quiero: $\varphi(f)=(g, h)$

Para la generalización

Para un dado $(g_i)_{i\in I}\in\operatorname{Hom}(X,\prod_{i\in I} X_i)$ construimos la preimagen $f: X\to \prod_{i\in I} X_i$ por medio de $f(x)=(g_1(x), g_2(x),\dotso )$

$f$ es efectivamente una preimagen de $(g_i)_{i\in I}$

Prueba:

$\varphi(f)=(p_i\circ f)_{i\in I}=(p_i(f(x))_{i\in I}=(f_i(x))_{i\in I}=(g_i(x))_{i\in I}$ para todo $x\in X \Leftrightarrow \varphi(f)=g$.

Entonces $\varphi$ es efectivamente una biyección.

Pregunta adicional:

¿Este es un caso en el que se utiliza el axioma de elección?

Agradecería si alguien verifica esto y señala los errores que pueda haber cometido. Gracias de antemano.

Answer 1

Sea $ \{\lambda_j: X \to X_j\}_{j\in I}$ un cono sobre $\{X_j\}_{j \in I}$. La UMP del producto nos da una flecha $\textit{única}$ $\phi:X\to \prod_{j\in I} X_j$ tal que $p_j\circ \phi=\lambda_j$ para cada $j\in I$. Esto significa que el mapa $\Phi:\text{Cone}(X,(X_j)_{j\in I})\to \text{Hom}(X,\prod_{j\in I} X_j)$ que envía el cono $ \{\lambda_j: X \to X_j\}_{j\in I}$ a $\phi$ induce la inyección $(\lambda_j)_{j\in I}=(p_j\circ \phi)_{j\in I}\mapsto \phi$.

Por otro lado, dado una flecha $\phi:X\to \prod_{j\in I} X_j,\ \Phi$ envía el cono $ \{p_j\circ \phi: X \to X_j\}_{j\in I}$ a $\phi$ y así el mapa inducido también es una suryección.