Mostrar que la extensión de campo de los racionales por raíces cuadradas distintas de los números primos es Galois.

Question

Sea $p_1, p_2, ..., p_n$ sean primos distintos. Demuestra que $\mathbb{Q}(\sqrt{p_1}, \sqrt{p_2}, ..., \sqrt{p_n})$ es Galois. Creo que necesitamos demostrar que es normal y separable.

Para la normalidad, podemos decir que $\mathbb{Q}$ es un campo de descomposición para el polinomio $f= (x^2-p_1)(x^2-p_2)...(x^2-p_n)$ que está claramente formado por factores irreducibles sobre $\mathbb{Q}$

Para lo separable, no estoy seguro. Tal vez algo relacionado con el criterio de Einstein

Answer 1

Como se señala en los comentarios, esto se debe a que $\mathbb{Q}$ es un campo de característica $0$. Debido a esto, cualquier polinomio irreducible debe tener raíces distintas. Es posible que recuerdes haber visto esto en forma de un resultado que un polinomio tiene raíces múltiples (sobre un campo de característica $0$) si y solo si $f(x)$ y $f'(x)$ tienen un cero común, es decir, tienen un factor común.

Ahora, cada uno de los $x^2-p_i$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$, un campo de característica $0$. Por lo tanto, no tienen raíces repetidas. También puedes notar que conoces las raíces de cada polinomio, es decir, $\pm \sqrt{p_i}$, que son distintas. También se puede usar el hecho de que conoces que el grado de la extensión del campo es $2^n$, donde $n$ es el número de primos distintos utilizados. Cualquier automorfismo está determinado por cómo actúa en los $\sqrt{p_i}$. El mapeo $\sqrt{p_i} \mapsto -\sqrt{p_i}$ y fijando todos los otros $\sqrt{p_j}$ para $j \neq i$ es un automorfismo, esto es fácil de verificar. Entonces tienes $2^n$ automorfismos posibles, igual que el grado de la extensión.

Nota: Si estás confundido sobre por qué $\mathbb{Q}$ tiene característica $0$, nota que $1+1+\cdots$ nunca es $0$ en $\mathbb{Q}$, por lo que $\mathbb{Q}$ tiene característica $0$ por definición.