Mostrar la distribución estacionaria de $\partial_tp=\partial_x(bp)+(1/2)\sigma^2\partial_{xx}p$ (forward Kolmogorov) es $p=Ce^{-2\int b/\sigma^2dx}$

Question

Estoy tratando de entender esta prueba para poder hacer los ejercicios sin tener que memorizar la fórmula y sustituir números, como hacen muchas personas. ¡Muchas gracias de antemano!

Entonces, si tenemos la ecuación de Kolmogorov hacia adelante $\partial_t p=\partial_x(bp)+\frac{1}{2}\sigma^2\partial_{xx}p$, podemos obtener la distribución estacionaria resolviendo $$\partial_x(bp)+\frac{1}{2}\sigma^2\partial_{xx}p=0.$$ Esto lleva a $bp+\frac{1}{2}\sigma^2\partial_{x}p=C_1=0$ cuando se asume la condición de frontera de desvanecimiento en $\infty$.

Esto es lo que no entiendo.

Separando variables $$p=p_s(x)=C_2e^{-2\int\frac{b}{\sigma^2}dx},$$ donde $C_2$ es una constante.

¿Cómo llegó ahí sin embargo?

Answer 1

$$ bp+\frac{1}{2}\sigma^2\partial_{x}p = 0 $$ $$ 2bp+\sigma^2\partial_{x}p = 0 $$ $$ \sigma^2\partial_{x}p = -2bp $$ $$ \frac{1}{p}\,\partial_{x}p = -\frac{2b}{\sigma^2} $$ $$ \partial_{x}\left(\ln p\right) = -\frac{2b}{\sigma^2} $$ $$ \ln p(x) = \ln p(A) - \int_{A}^{x}\frac{2b}{\sigma^2}\,dx' $$ where $A$ is a constant $$ p = p(A)\,\exp\left(- \int_{A}^{x}\frac{2b}{\sigma^2}\,dx'\right) $$

Ahora sea $C \equiv p(A)$.

Answer 2

¿Estás seguro de que esa es la respuesta que quieres? La ecuación diferencial que muestras, $bp + \frac{1}{2}\sigma^2 \frac{dp}{dx}=0$ no debería tener una solución que sea una Gaussiana. ¿Estás seguro de que no quieres decir $\int \frac{b}{\sigma^2} dx$?