Tengo este problema. Si tengo una variedad $M$ de dimensión $m$ y una carta local $\varphi:M\rightarrow \varphi(M)$ ¿cuál es la matriz que representa el diferencial de esta aplicación? ¡Gracias de antemano por la ayuda!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Un gráfico local es un difeomorfismo entre un subconjunto abierto de $M$ y un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^m$. Esto implica que el diferencial $d\phi_x : T_x M \to \mathbb{R}^m$ es un isomorfismo para cualquier $x$ en el dominio de $\phi$. En consecuencia, podemos definir una base $\mathcal{B} = \{b_1,\dots,b_m\}$ de $T_x M$ estableciendo $b_i = d\phi_x^{-1}(e_i)$, donde $\mathcal{E} = \{e_1,\dots,e_m\}$ es la base estándar de $\mathbb{R}^m$. La matriz que representa a $d\phi_x$ con respecto a $\mathcal{B}$ y $\mathcal{E}$ es entonces simplemente la matriz identidad.
