Elemento que es independiente

Question

Sea $V$ un espacio vectorial complejo con un producto que satisface $xy=-yx$ para todo $x,y\in V. Elija una base $v_i$ de $V$ y una base $w_i$ tal que $v_iw_j=\delta_{ij}$.

¿Por qué el elemento $\sum_i w_i\otimes v_i$ es independiente de la base $v_i$?

Answer 1

De la pregunta antes de la última edición: "He elegido otra base $v_i'$, por lo tanto obtengo otra base $w_i'$ tal que $(v_i',w_j')=\delta_{ij}$. Si escribo $v_i'=\sum_k\lambda_{k,i}v_k$ respectivamente $w_i'=\sum_l\mu_{l,i}w_l$ e introduzco en $(v_i',w_j')=\delta_{ij}$, obtengo $$\delta_{ij}=\sum_k\lambda_{k,i}\mu_{k,j}.$$

Más adelante obtengo $$\sum_i w_i'\otimes v_i'=\sum_{i,l,k}\mu_{l,i}\lambda_{k,i}w_l\otimes v_k.$$ ¿Por qué esto es igual a $\sum_i w_i\otimes v_i$?"

Las relaciones $\delta_{ij}=\sum_k\lambda_{k,i}\mu_{k,j}$ para todo $i,j$ significan que las matrices $L=(\lambda_{i,j})$ y $M=(\mu_{i,j})$ satisfacen $L^T \,M=I$, donde $L^T$ significa la transpuesta de $L$ y $I$ es la matriz identidad. Por lo tanto, $M=(L^T)^{-1}$ y también tenemos $M\,L^T=I$. En las entradas de $L,M$ esto significa que $$\delta_{lk}=\sum_i\mu_{l,i}\lambda_{k,i}$$ para todo $l,k$. Entonces, tu suma $$\sum_{i,l,k}\mu_{l,i}\lambda_{k,i}w_l\otimes v_k=\sum_{l,k}\delta_{lk}w_l\otimes v_k= \sum_k w_k\otimes v_k$$ como se deseaba.

Answer 2

Aquí hay otra prueba con muchos menos cálculos. Si $V$ es de dimensión finita, entonces $V\otimes V$ se puede identificar con el espacio de endomorfismos de $V$ tal que $$(w\otimes v)\,h=(v\,h)\, w$$ para todo $v,w,h$. Para esto necesitamos la existencia de bases $v_i$, $w_j$ tal que $v_iw_j=\delta_{ij}$ para todo $i,j$. Entonces $\sum_i w_i\otimes v_i$ es la identidad porque $\sum_i(w_i\otimes v_i) w_j=\sum_i\delta_{ij}w_i=w_j$ para todo $j$ y los $w_j$ forman una base. Por la misma razón, $\sum_i w_i'\otimes v_i'$ es la identidad para cualquier otra base $v_i'$, $w_j'$ que satisfagan $v_i'w_j'=\delta_{ij}$. Por lo tanto, $\sum_i(w_i\otimes v_i)=\sum_i(w_i'\otimes v_i')$.