Subespacios T-cíclicos: Si $m_v$ es irreducible, mostrar que $C_T(v) = C_T(w)$ para todo $w\in C_T(v)$

Question

Consideramos una transformación lineal $T\in$ End$(V)$ y $V$ un espacio vectorial (no necesariamente finito).

Notación:

$\mathcal{C} = v, T(v), T^2(v), ...$

$C_T(v)$ = Span$(\mathcal{C})$

$m_v$ es el polinomio mínimo de $v$ relacionado con $T$.

La pregunta en sí es:

Sea $p\in F[x]$ un polinomio irreducible y supongamos que $m_v = p$ para algún $v\in V$. Demuestra que $C_T(w)=C_T(v)$ para todo $w\in C_T(v)$.

La única idea que tuve fue tomar $w\in C_T(v)$ e intentar relacionar $f\in F[x]$ tal que $f(T)= w$ con $m_v$. Pero no sé exactamente cómo hacerlo.

¿Algún consejo?

Answer 1

Debes asumir que w es distinto de cero, de lo contrario el resultado es falso.

Por definición: $w=Q(T)(v)$, con $Q$ algún polinomio. Podemos asumir sin pérdida de generalidad que $deg(Q)

$Q$ no puede ser cero, ya que por suposición $w\neq 0$. Por lo tanto, $p$ y $Q$ son primos entre sí, por lo tanto existen polinomios $U,V$ tales que $pU+QV=1$, por lo tanto $pU(T)(v)+QV(T)(v)=v$. $pU(T)(v)=0$ por definición de $p$ y $Q(T)(v)=w$, por lo tanto $V(T)(w)=v.

A partir de esto se deduce trivialmente que $C_T(w)=C_T(v)$.