<p>Convergencia de $\prod_{i=1}^{\infty}\cos(a^{-i}x)$</p>

Question

Si $a>1$, $x$ es real, entonces ¿cómo ver que $\prod_{i=1}^{\infty}\cos(a^{-i}x)$ converge excepto para un número contable de $x$?

Answer 1

Algunas ideas.

Por el producto de Weierstrass para la función coseno sabemos que: $$\cos z=\prod_{n=0}^{+\infty}\left(1-\frac{4z^2}{(2n+1)^2 \pi^2}\right)$$ por lo tanto: $$\log\cos z=-\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{4^m z^{2m}}{m(2n+1)^{2m}\pi^{2m}}=-\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{(4^m-1)\zeta(2m)z^{2m}}{m\pi^{2m}}$$ y:

$$\sum_{n=1}^{+\infty}\log\cos\frac{x}{a^n}=-\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{(4^m-1)\zeta(2m)x^{2m}\zeta(a^{2m})}{m\pi^{2m}}$$ así que:

$$\prod_{n=1}^{+\infty}\cos\frac{x}{a^n} = \exp\left(-\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{(4^m-1)\zeta(2m)x^{2m}\zeta(a^{2m})}{m\pi^{2m}}\right)$$

Los primeros términos de la serie dentro del $\exp$ son, por ejemplo

$$\frac{x^6 \zeta \left(a^6\right)}{45}+\frac{x^4 \zeta \left(a^4\right)}{12}+\frac{x^2 \zeta \left(a^2\right)}{2}$$ Debido al signo negativo delante de todo, y debido a $\exp$ podemos aproximarla por ejemplo como

$$1-\frac{x^2 \zeta \left(a^2\right)}{2}+O\left(x^4\right)$$

Se dejan ideas adicionales por desarrollar.