Las funciones Hölder continuas no dan lugar a soluciones débiles útiles en ningún contexto del que tenga conocimiento: existen nociones de soluciones débiles que son continuas, pero el módulo de Hölder no es relevante para la definición.
Aunque puede haber algunos resultados raros que requieran módulos de Hölder específicos con $\alpha < 1$, no puedo pensar en ninguno que use en mi investigación.
Entonces, ¿por qué preocuparse por la continuidad de Hölder en absoluto? Aquí hay algunas razones. Diré que esto proviene de una perspectiva puramente de EDP, y que los espacios de Hölder son más útiles cuando se trata de ecuaciones elípticas, parabólicas y algunas ecuaciones de primer orden. Para ecuaciones dispersivas y de ondas, el hecho de que las normas de Hölder no interactúen bien con la transformada de Fourier es un punto en su contra. Hay otras áreas (no de EDP) de análisis y geometría que encuentran útiles los espacios de Hölder por otras razones, pero eso sería para otra respuesta.
Compacidad
Los espacios de Hölder tienen propiedades de compacidad muy elementales y favorables. Una secuencia de funciones con normas de Hölder acotadas tendrá una subsucesión uniformemente convergente, y la norma de Hölder es semicontinua por debajo de la convergencia uniforme. La convergencia uniforme es extremadamente, sorprendentemente, útil cuando se estudian ciertos tipos de EDP, y a menudo es suficiente para pasar toda la EDP al límite. Este es el caso con las soluciones distribucionales de ecuaciones lineales, y de manera más sorprendente con las soluciones de viscosidad.
Fácil de usar y entender
La teoría de los espacios de Hölder no es muy profunda. A diferencia de los espacios de Sobolev, que interactúan de manera sutil con la geometría del límite de un dominio, contienen funciones que en general no tienen sentido puntual, requieren tratar con derivadas distribucionales, etc., los espacios de Hölder son solo espacios de funciones equicontinuas con poco más en juego.
Es fácil demostrar que una función es Hölder continua, y las formas comunes de hacerlo se alinean bien con la forma en que abordamos las EDP. Una forma de hacer esto es demostrar que $$ \max_{B_r(x)} u - \min_{B_r(x)} u \leq (1 - \theta)[ \max_{B_{2r}(x)} u - \min_{B_{2r}(x)}u] $$ para algún $\theta > 0$, una disminución de oscilación. Iterando esto se obtiene que $u$ tiene algún módulo de Hölder en $x$. Este tipo de afirmación es una que estamos felices de intentar probar para soluciones $u$: acotar el máximo de $u$ en una escala dada en términos de $u$ en una bola más grande es algo que realmente tenemos las herramientas para hacer, al menos para ecuaciones elípticas. También hay buenos enfoques para mostrar que $u$ es Hölder basado en límites de Sobolev o $L^p$ a cada escala (desigualdades de Morrey/Companato), y a veces espacios de Sobolev se incluyen directamente en espacios de Hölder.
Otro buen aspecto de los espacios de Hölder es que nos permiten hablar sobre un aumento de suavidad de potencia fraccionaria sin tener que tomar derivadas (fraccionarias), o derivadas de ningún tipo, y sin necesidad de la transformada de Fourier. No tener que tomar derivadas es una gran conveniencia técnica (ver cómo la mejora de la oscilación anterior es una afirmación sobre solo la solución puntualmente; esto es genial si diferenciar la ecuación es problemático); no tener que lidiar con nada fraccionario hace todo mucho más explícito; no necesitar la transformada de Fourier son buenas noticias para ecuaciones que interactúan pobremente con ella.
Nuestros mejores teoremas son verdaderos cuando $\alpha \in (0, 1)$
Claro, los espacios de Hölder pueden ser agradables, pero ¿por qué no simplemente usar $\alpha = 1$? Resulta que es mucho, mucho más difícil probar que algo es Lipschitz, y a menudo simplemente no es cierto. Considere la ecuación $$ \Delta u = f. $$ Heurísticamente esperamos que $u$ sea dos derivadas más suave que $f$, porque, bueno, eso es lo que parece decir la ecuación: algunas segundas derivadas de $u$ son iguales a $f$. Los resultados positivos reales en esta dirección son que si $f \in C^{0, \alpha}$, entonces $u \in C^{2, \alpha}$ (Schauder), que si $f \in L^p$ entonces $u \in W^{2, p}$ cuando $p \in (1, \infty)$ (Calderon-Zygmund), algunos teoremas similares que son $k$ derivadas arriba de esto, y clasificaciones mucho más complicadas de lo que sucede en los extremos $\alpha = 0, \alpha = 1, p = 1, p = \infty$. En particular, ninguna de las versiones de los extremos son verdaderas, todas requieren modificaciones, espacios diferentes, etc. Este hecho, que los teoremas de análisis armónico tienen versiones de extremos más complicadas, es un tema recurrente en el campo, y significa que aunque nos encantaría trabajar con $\alpha = 1$, a menudo simplemente no se nos permite.
Hay otros tipos de teoremas en los que podemos demostrar que existe un $\alpha > 0$ tal que las soluciones (o sus derivadas, o algo relacionado con ellas) están en $C^{0, \alpha}$. Aquí es posible que no esperemos que las funciones estén ni cerca de ser Lipschitz. El ejemplo más famoso de esto es el teorema de De Giorgi-Nash-Moser.
