Isomorfismo de $M$ y $\hom_R(R,M)$ si $R$ no es conmutativo

Question

Estoy leyendo Álgebra Básica II de Jacobson, página 159. Aquí está lo que escribió: (aquí $R$ denota un anillo que no es necesariamente conmutativo)

Ahora consideramos un $R$-módulo arbitrario $M$. Tenemos el isomorfismo de $M$ en $\hom_R(R,M)$ que mapea un elemento $x\in M$ en el homomorfismo $f_x$ tal que $1\mapsto x$. Este es un R-isomorfismo si hacemos de $\hom_R(R,M)$ un módulo derecho $R$ como en la Proposición 3.4 definiendo $fa$, $a\in R$, por $(fa) (b) = f (ab)$.

Lo que no puedo entender es que $M$ es un módulo izquierdo de $R$ pero $\hom_R(R,M)$ es un módulo derecho de $R$; ¿cómo pueden ser $R$-isomorfos?

Ya había buscado en internet; sin embargo, la mayoría de las preguntas anteriores sobre $M\cong\hom_R(R,M)$ parecen tener la suposición de que $R$ es conmutativo.

Dado que este es un paso importante para la siguiente discusión en el libro, realmente estoy curioso acerca de la respuesta. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

• Si $M$ es un módulo izquierdo por la izquierda de $R$, entonces $\operatorname{Hom}_R(R,M)$ también es un módulo izquierdo por la izquierda de $R$ definiendo $rf \in \operatorname{Hom}_R(R,M)$, para $r \in R$ y $f \in \operatorname{Hom}_R(R,M)$, por $$\forall x \in R \quad (rf)(x) = f(xr).$$
• Si $M$ es un módulo derecho por la derecha de $R$, entonces $\operatorname{Hom}_R(R,M)$ también es un módulo derecho por la derecha de $R$ definiendo $fr \in \operatorname{Hom}_R(R,M)$, para $r \in R$ y $f \in \operatorname{Hom}_R(R,M)$, por $$\forall x \in R \quad (fr)(x) = f(rx).$$

En cualquier caso, las funciones $$\begin{align*} \operatorname{Hom}_R(R,M) & \longrightarrow M & M & \longrightarrow \operatorname{Hom}_R(R,M) \\ f & \longmapsto f(1) & m & \longmapsto (1 \mapsto m) \end{align*}$$ son homomorfismos de módulos de $R$ (demuéstralo), y son inversos.