¿Cómo evalúo este problema de límite que implica funciones de valores reales?

Question

¿Cómo puedo resolver este problema en particular? He intentado algunas veces, pero sin éxito... ¡Por favor, aconsejen chicos!

Sea $f(x)$ una función con valores reales definida para todo $x \geq 1$, que satisface $f(1)=1$ y $$ f'(x) = \frac{1}{x^2 + (f(x))^2}. $$ Demostrar que $$ \lim_{x\to\infty} f(x) \lt 1 + \frac{\pi}{4} .$$

Captura de pantalla del problema

Answer 1

$f' > 0\implies f$ se incrementa $\implies f > 1$ para $x > 1$: $$ f(x) - f(1) = \int_1^x f'(t)\,dt = \int_1^x\frac{dt}{t^2 + (f(t))^2}<\cdots $$ ¿Puedes continuar?

Answer 2

Sea $f:[1,\infty) \to \mathbb{R}$ tal que $f(1)=1$ y $f'(x)=\frac{1}{x^2 + (f(x))^2}$. Queremos demostrar que $\lim_{x\to\infty} f(x)$ existe y es menor que $1+\frac{\pi}{4}$.

$f'(x)>0$ para cada $x$, entonces $f$ aumenta estrictamente; Por lo tanto, $\lim_{x\to\infty} f(x)$ existe (en el sentido extendido - actualmente podría ser $+\infty$). Denotemos este límite por $L \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$.

Ahora queremos mostrar que $L \in \mathbb{R}$ y $L < 1+\frac{\pi}{4}$. Dado que $f(1)=1$ y $f$ aumenta estrictamente, $f(x)>1$ para cada $x>1$, entonces para cada $x>1$, $f'(x)<\frac{1}{x^2+1}$. Por lo tanto, $\int_1^\infty f' = L - 1 < \int_1^\infty \frac{1}{x^2+1}=\frac{\pi}{4}$, entonces $L$ debe ser finito y cumplir $L < 1+\frac{\pi}{4}$.

(Nota que $\int \frac{1}{x^2+1}=arctan(x)$)