Voy a dar una visión general breve y muy simplificada de algo con lo que estoy algo familiarizado, aunque hay muchos otros enfoques abiertos en la investigación sobre los que no tengo la experiencia para comentar.
Sea $\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ el grupo de Galois absoluto, es decir, el grupo de todas las automorfismos de campo $\overline{\mathbb{Q}}\to\overline{\mathbb{Q}}$ que fijan los números racionales. De manera equivalente, $\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ es el límite inverso de los grupos de Galois $\text{Gal}(L/\mathbb{Q})$ de extensiones de Galois finitas $L/\mathbb{Q}$, por lo que en cierto sentido está formado por todos los grupos de Galois finitos sobre $\mathbb Q$.
Quizás el problema abierto más conocido en la teoría de Galois es
¿Cuál es la estructura de $\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$?
Un enfoque a este problema es a través del famoso programa de Langlands. Un enfoque diferente fue esbozado por Grothendieck en su, también relativamente conocido, Esquisse d'un programme.
Allí, Grothendieck señala que $\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ tiene una acción fiel sobre la colección de gráficos incrustados en superficies compactas, a los cuales llama dessins d'enfants (dibujos de niños) debido a su aparente simplicidad. Si uno puede entender esta acción, entonces en principio se pueden representar los elementos de $\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ como permutaciones de dessins d'enfants. Por lo tanto, uno de los principales problemas abiertos de la teoría de dessins d'enfants es
Clasificar los suficientes invariantes de dessins d'enfants para distinguir entre las dos órbitas de la acción de $\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$.
Poco después de que la Esquisse de Grothendieck circulara, Drinfeld demostró que $\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ se inyecta en el llamado grupo de Grothendieck-Teichmuller, que tiene una descripción explícita en términos de generadores y relaciones. Por lo tanto, otro problema abierto es
¿Es isomorfo $\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ al grupo de Grothendieck-Teichmuller?
Estos son problemas muy difíciles que plantean otras preguntas aún no resueltas, por ejemplo, cómo se puede calcular un dessin d'enfant eficientemente. Además, los físicos teóricos también están interesados en la teoría de Galois: la introducción de Drinfeld del grupo de Grothendieck-Teichmuller fue motivada por la física matemática, y los dessins d'enfants ya han aparecido en la física bajo un nombre diferente, modelos de dímeros.
