Noson Yanofsky es un científico de la computación teórica en el Brooklyn College. Presenta el siguiente argumento en las páginas 329-330 de su libro The Outer Limits of Reason, publicado por el MIT Press.
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El conjunto $\mathbb{N}$ de números naturales tiene un número incontable de subconjuntos.
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Sea $x$ un número natural y $S$ un subconjunto de $\mathbb{N}$. Exactamente una de las siguientes afirmaciones expresa un hecho matemático: (a) $x \in S$, (b) $x \notin S$.
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Se deduce de (1) y (2) que hay un número incontable de hechos matemáticos.
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Sea $T$ una teoría de primer orden. Entonces $T$ tiene solo un número contable de fórmulas.
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Se sigue de (3) y (4) que hay más hechos matemáticos que fórmulas en $T$.
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Por lo tanto, $T$ no puede expresar, y mucho menos probar, todos los hechos matemáticos.
Para las propias palabras de Yanofsky, consulte el artículo: "La mayoría de verdades no pueden ser expresadas en lenguaje."
He escuchado a personas decir cosas similares en podcasts. Intentan explicar el primer teorema de incompletitud de Gödel como afirmando que hay más verdades que pruebas.
Pregunta.$\ \ $¿Es válido el argumento de Yanofsky? Si no, ¿por qué?
Parece contradecir las respuestas a las siguientes preguntas: 1, 2, 3. Sin embargo, Yanofsky parece ser un experto en esta área, y su argumento fue publicado por el MIT Press.
Tenga en cuenta que Yanofsky escribe:
"Todo se trata de hechos matemáticos, no de lo que se puede afirmar. Una afirmación matemática es un hecho matemático que puede expresarse en símbolos. Vimos arriba que... hay un número contable de afirmaciones matemáticas. Por lo tanto, hay considerablemente más hechos matemáticos que afirmaciones matemáticas."
Tal vez esto podría hacerse más preciso codificando hechos matemáticos como conjuntos.
