Comprendiendo la mecánica estadística de la Época de Recombinación ("Cosmología" Weinberg)

Question

También publiqué esto en Astronomy.stackexchange, pero me di cuenta de que principalmente estoy tratando de entender la física, no la astronomía.

En el Capítulo 2.3 de 'Cosmología' de Steven Weinberg (página 113), comienza con una densidad de número para alguna partícula a través de la Fórmula de Maxwell-Boltzmann:

Aunque tengo cierta familiaridad con la mecánica estadística, no puedo entender cómo se derivó esta ecuación. Los estados de espín y la fugacidad son lo suficientemente obvios para cualquier conjunto microcanónico cuántico. Sin embargo, no estoy seguro de dónde provienen el $(2\pi\hbar)^{-3}$ y la integral. Estoy acostumbrado a trabajar con conjuntos canónicos en términos de funciones de partición y eso no parece ser el caso aquí a menos que me esté perdiendo algo.

Answer 1

La mayoría de la fórmula (2.3.1) es un ensamble canónico grandioso estándar para una distribución Maxwell-Boltzmann (MB) relativista. Aquí la energía $E_i=\sqrt{(pc)^2+(m_ic^2)}~=~m_ic^2+ \frac{p^2}{2m_i}+{\cal O}(c^{-2})$; la velocidad de la luz $c=1$; y el momento $p\equiv q$. El factor de normalización $(2\pi\hbar)^{-3}$ implementa la regla de cuantización semiclásica de que hay 1 estado cuántico por unidad de volumen $(2\pi\hbar)^3$ de un espacio de fase de 6 dimensiones.