Idempotentes en una subálgebra de $B(H)$.

Question

Sea $\mathcal{A}$ una subálgebra de $B(H)$ tal que $\mathcal{A}$ es generada por todos sus idempotentes y $\mathcal{A}$ está cerrada bajo la topología del operador débil. Supongamos que existen idempotentes $P_1$ y $P_2$ en $\mathcal{A}$ tales que $P_1P_2\neq P_2P_1$. ¿Podemos decir que existe un idempotente $P_3 \in \mathcal{A}$ tal que $P_1P_3\neq P_3P_1$ y $P_3P_2\neq P_2P_3?

Si es así, ¿cómo podemos demostrarlo? Si no, ¿hay algún ejemplo de una subálgebra que lo rechace?

Por favor ayúdame a resolver esta pregunta.

Se agradecerá mucho tu pronta respuesta.

Gracias de antemano.

Answer 1

Se demuestra en [3] (ver abajo) que:

Teorema. Sea $H$ un espacio de Hilbert. Existen tres proyecciones que generan $B(H)$. El número tres no puede reducirse si $H$ tiene una dimensionalidad de 3 o más.

De hecho, la discusión sobre generadores de ciertas álgebras de von Neumann tiene una larga historia. En cuanto a algunas referencias relacionadas con tu pregunta, puedes echar un vistazo a estas:

Referencias:

1- Sobre generación fuerte de $B(H)$ por dos álgebras C*-conmutativas (1997)

2- Generadores de ciertas álgebras de von Neumann (1967)

3- Generadores del anillo de operadores acotados (por C. Davis)