Sea $F$ un campo de característica $p>0$ y $a\in F.
Tengo una pregunta fácil en la que estoy atascado.
Si el polinomio $X^p-a$ no tiene ceros en $F$, ¿es irreducible sobre $F$?
¡Gracias!
Respuestas
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Si $X^p-a$ no tiene raíces en $F$, entonces considera el campo de descomposición $K$ de $X^p-a$. Sobre $K$, $X^p-a=(X-b)^p$ para algún $b \in K$. Por lo tanto, $X^p-a$ es reducible sobre $F$ si y solo si $(X-b)^n\in F[X]$ para algún entero $n$ con $1\leq n
P.D.: ¿Puedes mostrar que $a$ debe ser trascendental respecto al cuerpo primo $\mathbb{F}_p$ de $F$?
jkabrg
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Cada elemento en un campo de característica $p$ tiene hasta 1 raíz $p$-ésima. Esto se debe a que $X^p$ es un endomorfismo en anillo (el endomorfismo de Frobenius). Esto implica que el polinomio debe factorizarse en $(X - b)^p$ en algun campo de extensión. Por lo tanto, si el polinomio se puede reducir en $F[X]$ a $fg$ (donde $f$ es de grado posible más bajo) entonces $f$ debe ser igual a $(X - b)^k$ y $g$ debe ser igual a $(X - b)^{p-k}$ para algún $k$ donde $1 < k < p. Pero entonces podemos obtener ${g \over f}$ y a través del algoritmo de Euclides encontramos que $(X - b)^{\gcd(k,p-k)} \in F[X]$. Por la minimalidad de $f$, $\gcd(k, p - k) = k \therefore k \mid p - k \therefore k \mid p \therefore k = 1$ or $k = p$.
