Propiedad del Valor Medio en la Esfera

Question

$\textbf{Problema}$ Sea $\Omega$ abierto y conexo en $\mathbb{R}^n$ para $n\geq 2$, y supongamos que $u \in C^2(\Omega)$. Demuestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes. \begin{align*} (\textrm{i}) \quad u \textrm{ es armónico en } \Omega\\ (\textrm{ii}) \quad \textrm{Si } \overline{B_r(x)} \subset \Omega, \textrm{ entonces}\\ &u(x)=\frac{1}{\textrm{Vol} \partial B_r(x)}\int _{\partial B_r(x)} u(y)dS(y).\\ (\textrm{iii}) \quad \textrm{Si } \overline{B_r(x)} \subset \Omega, \textrm{ entonces}\\ &u(x)=\frac{1}{\textrm{vol}B_r(x)}\int_{B_r(x)} u(y) dy. \end{align*}

Probé que (i) y (ii) son equivalentes. Quiero saber cómo probar que (i) y (iii) son equivalentes.

Sabía que este problema ya estaba subido. Sin embargo, no conozco la fórmula integral de Poisson en $\mathbb{R}^n$....

Se agradece cualquier ayuda..

Answer 1

Veamos que $1)$ implica $3)$: \begin{align}\frac{1}{\textrm{vol}B_r(x)}\int_{B_r(x)} u(y) dy&=\frac{1}{\textrm{vol}B_r(x)} \int_0^r\int_{\partial B_s(x)}u(y)dS(y)ds\\ &=\frac{1}{\textrm{vol}B_r(x)} \int_0^r\textrm{vol}\partial B_s(x)u(x)ds\\ &=u(x)\frac{1}{\textrm{vol}B_r(x)}\textrm{vol}B_r(x)=u(x) .\end{align} La segunda igualdad se debe a la equivalencia ya demostrada entre $1)$ y $2)$.
Veamos que $3)$ implica $1)$:
Definimos $$\phi(r)=\frac{1}{\textrm{vol}\partial B_r(x)}\int_{\partial B_r(x)}u(y)dS(y).$$ Puedes verificar (y probablemente ya lo hiciste al probar la primera equivalencia) que $$\phi'(r)=\frac{r}{n\textrm{vol}B_r(x)}\int_{B_r(x)}\Delta u(y)dy.$$ Supongamos que $\Delta u$ no es identicamente $0$, podemos encontrar un punto $x$ y una bola abierta $B_\rho(x)$ tal que $\Delta u(y)>0$ en $B_\rho(x)$ (puedes usar el mismo argumento si $\Delta u(y)<0$). Esto implica que $\phi'(s)>0$ para $0, por lo tanto $\phi$ es estrictamente creciente en este intervalo. Finalmente, podemos concluir que \begin{align}\frac{1}{\textrm{vol}B_\rho(x)}\int_{B_\rho(x)} u(y) dy&=\frac{1}{\textrm{vol}B_\rho(x)} \int_0^\rho\int_{\partial B_s(x)}u(y)dS(y)ds\\ &=\frac{1}{\textrm{vol}B_\rho(x)} \int_0^\rho\textrm{vol}\partial B_s(x)\phi(s)ds\\ &>\phi(0)=u(x),\end{align} lo cual es una contradicción.