Por qué falla la derivada parcial a pesar de la definición de límite

Question

Muchos posts aquí han respondido preguntas sobre las derivadas parciales de funciones multivariables que son continuas en algún punto.

Considere la ecuación $(xy)^\frac{1}{3}$ que es continua en $(0,0)$. Cuando tomamos las derivadas parciales, vemos que producen un resultado no definido, por lo que necesitamos recurrir a la definición de límite. Supongo que tiene sentido, ya que la definición de límite producirá la derivada parcial sin necesariamente estar en el punto (ni siquiera requiere continuidad para eso).

Para el ejemplo anterior, las definiciones de límite producen $0$ para ambos.

$\dfrac {\partial f}{\partial x} = \frac{y^\frac13}{3x^\frac{2}{3}}$ y $\dfrac {\partial f}{\partial y} = \frac{x^\frac13}{3y^\frac{2}{3}}$

A pesar de que la definición de límite resuelve el problema, todavía encuentro difícil ver que tomar la derivada parcial a través de la diferenciación y evaluación no es exactamente equivalente a encontrar la derivada parcial en un punto mediante la definición de límite. Seguramente la definición de límite proporciona el marco para tomar las derivadas parciales de la manera "normal". ¿Por qué ocurre esta "discrepancia"?

Answer 1

El problema en este ejemplo en particular es que has utilizado incorrectamente una regla de diferenciación. Para obtener $$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y^{1/3}}{3x^{2/3}},$$ supongo que utilizaste la siguiente regla: si $g(x)=ch(x)$ para alguna constante $c$ y para todo $x$, entonces $g'(x)=ch'(x)$. (Aquí $y$ está fijo, $c=y^{1/3}$, $g(x)=f(x,y)$, y $h(x)=x^{1/3}.)$ Sin embargo, esta regla no es literalmente correcta. La regla correcta es que si $h'(a)$ existe y $g(x)=ch(x)$ para todo $x$ (en una vecindad de $a$), entonces $g'(a)$ existe y $g'(a)=ch'(a)$. Para $a=0$ y $h(x)=x^{1/3}$, $h'(a)$ no existe, por lo que no puedes aplicar la regla y concluir que tu fórmula para $\frac{\partial f}{\partial x}$ es correcta en $x=0.

(Nota que si $c\neq 0$, entonces la regla ingenua $g'(x)=ch'(x)$ es válida en el sentido de que para cada $x$ ambas derivadas existen y la ecuación es verdadera o ninguna de las derivadas existe. Esto se debe a que si $g'(a)$ existe para algún $a$ en particular, puedes escribir $h(x)=c^{-1}g(x)$ y luego usar la regla con $c^{-1}$ en lugar de $c$ para concluir que $h'(a)$ existe y $h'(a)=c^{-1}g'(a)$. Pero cuando $c=0$, es posible que $h'(a)$ no esté definida pero $g'(a)$ sí lo esté, y eso es exactamente lo que está sucediendo en este ejemplo, ya que $c=y^{1/3}$ es $0$ cuando $y=0$.)