¿Cuánta teoría de conjuntos recuerda la categoría de conjuntos?

Question

Pregunta. Sea $M$ un modelo de suficiente teoría de conjuntos. Entonces podemos formar una categoría $\mathbf{Set}_M$ cuyos objetos son los elementos de $M$ y cuyos morfismos son las funciones en $M$. ¿Hasta qué punto está determinado $M$ por $\mathbf{Set}_M$ como categoría hasta la equivalencia?

Por ejemplo, supongamos que $M$ y $N$ son modelos de ZF. ¿Son $\mathbf{Set}_M$ y $\mathbf{Set}_N$ equivalentes como categorías si y solo si $M$ y $N$ son isomorfos?

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Espero que la respuesta dependa de exactamente lo que asumamos sobre $M.

Por ejemplo, sea $M$ un modelo de ZFA y sea $M'$ el universo de conjuntos puros en $M$. Entonces $M \cong M'$ si y solo si $M$ no tiene átomos; pero la inclusión $\mathbf{Set}_{M'} \hookrightarrow \mathbf{Set}_M$ es una equivalencia tan pronto como $M$ cumpla con el axioma "cada conjunto está en biyección con algún conjunto puro", lo cual sucede si por ejemplo $M$ satisface el axioma de elección.

Por otro lado, supongamos que $M$ es un modelo transitivo de ZF. Por cierre transitivo / colapso de Mostowski, cada conjunto en $M$ se obtiene a partir de un "árbol ZF" en $M$, es decir, un conjunto $T$ (en $M$) equipado con una relación binaria extensiva bien fundamentada $E$ y un elemento $E$-máximo único. La noción de árbol ZF es una que se puede formular en el lenguaje interno de un topos, por lo que la colección de árboles ZF es recuperable a partir de $\mathbf{Set}_M$ hasta la equivalencia, y por lo tanto, $M$ es (¡exactamente!) recuperable a partir de $\mathbf{Set}_M$ hasta la equivalencia.

Siguiendo a Benedikt Löwe, una versión algo más sofisticada de lo anterior debería funcionar para recuperar modelos bien fundamentados $M$ de ZFA con (posiblemente) un número contable de átomos de $\mathbf{Set}_M$.

Pero ¿qué pasa con, por ejemplo:

• Modelos no bien fundamentados de ZF(A)?
• Fragmentos más débiles de ZF, por ejemplo, la teoría de conjuntos de Mac Lane?
• Teorías de conjuntos donde la categoría de conjuntos no es un topos, por ejemplo, NBG o NF(U)?

Para evitar que la pregunta sea demasiado abierta, permítanme decir que estaría feliz de conocer la respuesta solo para modelos (posiblemente no bien fundamentados) de ZF.

Answer 1

Esta no es una respuesta, pero es más conveniente escribir un gran bloque de texto aquí en lugar de en un comentario. Principalmente tengo algunos pequeños comentarios (que podrían estar equivocados de alguna manera). Primero, $\textbf{Set}_{\mathcal M}\simeq\textbf{Set}_{\mathcal N}$ se cumple para cualquier par de modelos numerables de ZFC $\mathcal M$ y $\mathcal N$. La razón de esto es que para cada $\alpha$ podemos fijar bijecciones $F_\alpha:\aleph_\alpha^{\mathcal M}\to\omega$ y $G_\alpha:\aleph_\alpha^{\mathcal N}\to\omega$, y luego definir un funtor $e:\textbf{Set}_{\mathcal M}\to\textbf{Set}_{\mathcal N}$ como

$e(f:\aleph_\alpha^{\mathcal M}\to\aleph_\beta^{\mathcal M}):=F_\beta^{-1}\circ G_\beta\circ f\circ F_\alpha^{-1}\circ G_\alpha:\aleph_\alpha^{\mathcal N}\to\aleph_\beta^{\mathcal N}$,

que es tanto esencialmente sobreyectivo como completamente fiel, por lo que una equivalencia.

Pero si alguno de los modelos es innumerable, entonces una equivalencia $e$ al menos requeriría que

1. $\text{Card}^V(\kappa)=\text{Card}^V(e(\kappa))$ (ya que $\hom_{\mathcal M}(1,\kappa)\approx\hom_{\mathcal N}(1,e(\kappa))$)
2. $\text{Card}^V((\kappa^\lambda)^{\mathcal M})=\text{Card}^V((e(\kappa)^{e(\lambda)})^{\mathcal N})$ (ya que $\hom_{\mathcal M}(\lambda,\kappa)\approx\hom_{\mathcal N}(e(\lambda),e(\kappa))$)

Entonces, (1) al menos requeriría que $|\mathcal M|=|\mathcal N|$. Además, $\textsf{Set}_V\simeq\textsf{Set}_L$ al menos implicaría $\textsf{GCH}$ por (2).