Orden de un grupo de simetría de un cuadrilátero

Question

Estoy estudiando teoría de grupos. Cuando leo textos sobre la teoría, no siento dificultad para entender los conceptos, como qué es un grupo o qué es el Teorema de Cauchy. Sin embargo, a menudo encuentro difícil resolver problemas, como el que se presenta a continuación.

Sea $Q$ un cuadrilátero plano. Demuestra que su grupo $G (Q)$ de simetrías tiene un orden de a lo sumo $8$. Para cada $n$ en el conjunto $\{ 1, 2,..., 8\}$, o bien proporciona un ejemplo de un cuadrilátero $Q$ con $G(Q)$ de orden $n$, o demuestra que no puede existir tal cuadrilátero.

Lo que encuentro difícil es lo siguiente:

1. No puedo decidir a qué teorema está relacionado el problema, y cuando comienzo a resolverlo, solo pienso en ejemplos, como que un rombo tiene un grupo de simetría de orden 4.

2. ¿Cómo demostrar que para un valor particular de $n$, por ejemplo, $n=7$, no existe tal grupo de simetría?

3. ¿Cómo relacionar los teoremas que he aprendido con los problemas?

Answer 1

No todos los problemas se pueden resolver simplemente invocando un teorema. Algunos de ellos requieren razonamiento desde lo básico.

Tenga en cuenta que una simetría será completamente determinada por dónde envía a los vértices del $ Q $. Deje que los vértices sean $ A, B, C, D $ y los bordes $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA $. Hay 4 posibilidades para donde una simetría puede enviar a $ A $, es decir, $ A, B, C, D $. Llame vértice donde $ A $ es enviado $ X $. Una vez que hayamos determinado a dónde va $ A $, solo hay un lugar posible al que puede ir $ C $, y eso es al único vértice que no es adyacente a $ X $, porque una simetría debe preservar bordes. Después de eso, hay dos posibilidades para dónde podemos enviar $ B $, así que hay como máximo $ 8 $ posibilidades.

Claramente, si $ Q $ es escaleno, el grupo de simetría tiene orden $ 1 $. Para un trapecio isósceles con dos longitudes de base diferentes, el grupo de simetría tiene orden $ 2 $. Para un rectángulo que no es un cuadrado, el grupo de simetría tiene orden $ 4 $, y para un cuadrado el grupo de simetría tiene orden $ 8 $ (debería verificar todo esto).

El grupo de simetría de un $ Q $ arbitrario se puede ver como un subgrupo del grupo de simetría de un cuadrado donde no se permiten algunas simetrías. Entonces, el teorema de Lagrange implica que el orden debe dividir $ 8 $, por lo tanto, no son posibles otros órdenes (aquí es un ejemplo donde se puede aplicar un teorema).

Answer 2

Sea $f$ una simetría del cuadrilátero plano $A,B,C,D$ $f$ envía una diagonal a otra diagonal, si $(AC)$ es la diagonal que pasa por $A$ y $C$,

$f((AC))=f((AC))$ En este caso tenemos:

$Id$

$f(A)=A, f(C)=C, f(B)=D$

$f(A)=C, f(B)=B$

$f(A)=C, f(B)=D$

Si $f((AC))=f((BD))$ tenemos:

$f(A)=B, f(C)=D, f(B)=A, f(D)=C$

$f(A)=B, f(C)=D, f(B)=C, f(D)=A$

$f(A)=D, f(C)=B, f(B)=A, f(D)=C$

$f(A)=D, f(C)=B, f(B)=C, f(D)=A$

El grupo de simetrías de $A,B,C,D$ es un subgrupo del grupo simétrico $S_4$ (ya que está contenido en el grupo de permutaciones de $\{A,B,C,D\}$) que tiene 24 elementos, por lo tanto, el teorema de Lagrange implica que su orden divide a 24 y por lo tanto no puede ser 7.

Answer 3

1. Demuestra que $G(Q)^+$ (las isometrías de determinante $1$) actúa $\textit{libremente}$ en el conjunto de vértices de $Q$. Deduce de esto que $|G(Q)^+|$ dividirá a $4$.

2. Demuestra que o bien $G(Q)^+=G(Q)$ o $[G(Q):G(Q)^+]=2$ (pista: utiliza el morfismo de grupo $det:G(Q)\rightarrow \{\pm 1\}$).

3. Deduce de 1 y 2 que $|G(Q)|\leq 8$, y $|G(Q)|$ es una potencia de $2$ (en particular, el rectángulo no tiene $6$ simetrías).

   4. Para $1$, $2$, $4$, $8$ da un cuadrilátero correspondiente.