Diferenciación por una función

Question

Estoy tratando de aprender algo de física, y así ha llegado a pasar que me encontré con un ejemplo en el libro de Arnol'd, que dice $$ x''(t) = \frac{dU}{dx}, $$ donde $U(x) := gx$ es una función de $x$ (se supone que esta es una forma elegante de escribir la ecuación que describe una piedra cayendo sobre la Tierra). Ahora uno podría suponer que el LHS es algún tipo de derivada de Fréchet de $U$, pero entonces al menos uno debería evaluarlo en $x$, para que la ecuación se leería $$ x''(t) = \frac{dU}{dx}(x). $$ Pero bueno, veo cómo eso podría ser solo una notación abreviada. Aún así, es misterioso para mí, y siento como si me estuviera perdiendo algún punto matemático profundo que se supone que me prepare para los capítulos siguientes. Un asunto completamente diferente es la solución de la EDO autónoma de segundo orden dada en esta página de Wikipedia, porque la derivada por $t$ ni siquiera es continua, como el ejemplo estándar $$ t \mapsto \cos(nt) ~~~~ (n \in \mathbb N) $$ muestra. Mis preguntas son las siguientes dos:

• ¿Cómo se da sentido a estas expresiones diferenciales, es decir, cómo se ponen en una base rigurosa?
• ¿Cómo se vuelve riguroso (en el sentido de justificar cada paso, no solo mostrando que lo que se llega es una solución) el mnemónico dado para la EDO de primer orden en el mismo artículo un título antes, que también es necesario? ¿Existe una noción natural de infinitesimales o un cálculo infinitesimal en el que se puedan realizar todos estos pasos?

Answer 1

Estás realmente complicando las cosas.

Lo que tienes es simplemente una función de valor real de una variable real, $U \colon \mathbf{R} \to \mathbf{R}$, y $dU/dx$ simplemente significa su derivada ordinaria $U' \colon \mathbf{R} \to \mathbf{R}$, bien conocida en cálculo de una variable. Y la EDO te pide encontrar una función $f \colon \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ tal que $f'' = U' \circ f$, o en otras palabras $$ f''(t) = U'(f(t)) . $$ Aquí he usado una letra separada $f$ para la función buscada, es decir, “$x=f(t)$”, para evitar el abuso de notación “$x=x(t)$”, que parece haber sido lo que te confundió.

Answer 2

OK, resulta que unas pocas páginas más adelante, Arnol'd proporciona una explicación. Va así: Supongamos que se tiene una partícula puntual $x$ que se mueve en un espacio tridimensional $\mathbb R^3$, y supongamos entonces que se da una función $U: \mathbb R^3 \to \mathbb R$; al parecer los físicos llaman a tal cosa un "campo escalar". Se puede demostrar que la dirección de mayor descenso de $U$ en un punto $y \in \mathbb R^3$ está dada por el inverso aditivo del gradiente $$ -\nabla U (y) = -\begin{pmatrix} \partial_1 U(y) \\ \partial_2 U(y) \\ \partial_3 U(y) \end{pmatrix}. $$ Esto, de hecho, no es solo una dirección, sino también una aceleración, porque el vector no está normalizado. Es decir, si la partícula se mueve de acuerdo con la ley $$ x''(t) = -\nabla U(x(t)), $$ entonces se mueve en la dirección del mayor descenso, y la aceleración es proporcional (de hecho, igual) a la pendiente en esa dirección.

EDICIÓN: En cuanto a la EDO de 2º orden: He encontrado que el misterio desaparece si se asume que la solución $x$ existe y es inversible. Entonces la ecuación derivada no es, de hecho, para resolverla por $v$, sino por la función $v \circ t$, donde $t = t(x)$ se supone que es una función de $x$. Y la extraña fracción no tiene nada que ver con ninguna regla de la cadena, sino que puede entenderse como un límite. La ecuación para $v \circ t$ es entonces una condición suficiente para que $x$ sea una solución.