Desigualdad $\sum\limits_{cic}\frac{a^3}{13a^2+5b^2}\geq\frac{a+b+c}{18}$

Question

Permita que $a$, $b$ y $c$ sean números positivos. Demuestra que: $$\frac{a^3}{13a^2+5b^2}+\frac{b^3}{13b^2+5c^2}+\frac{c^3}{13c^2+5a^2}\geq\frac{a+b+c}{18}$$

Esta desigualdad es una generalización de la siguiente de Vasile Cirtoaje, la cual creó en 2005.

Permita que $a$, $b$ y $c$ sean números positivos. Demuestra que: $$\frac{a^3}{2a^2+b^2}+\frac{b^3}{2b^2+c^2}+\frac{c^3}{2c^2+a^2}\geq\frac{a+b+c}{3}.$$

Puedes ver mi prueba de esta desigualdad aquí: https://artofproblemsolving.com/community/c6h22937p427220

Pero este método no sirve para la desigualdad inicial.

Un gran problema que tenemos alrededor del punto $(a,b,c)=(0.785, 1.25, 1.861)$ es que la diferencia entre el LHS y el RHS en este punto es $0.0000158...$.

También intenté usar Cauchy-Schwarz, pero sin éxito.

Además, creo que el BW (ver aquí https://math.stackexchange.com/tags/buffalo-way/info ¡lo intenté!) no ayuda.

Answer 1

Aquí presento la solución Buffalo Way generada por ordenador.

Queremos probar $$325 x^{5}y^{2} + 125 x^{5}z^{2} + 325 x^{4}y^{3} - 845 x^{4}y^{2}z - 325 x^{4}yz^{2} - 325 x^{4}z^{3} - 325 x^{3}y^{4} + 720 x^{3}y^{2}z^{2} + 325 x^{3}z^{4} + 125 x^{2}y^{5} - 325 x^{2}y^{4}z + 720 x^{2}y^{3}z^{2} + 720 x^{2}y^{2}z^{3} - 845 x^{2}yz^{4} + 325 x^{2}z^{5} - 845 xy^{4}z^{2} - 325 xy^{2}z^{4} + 325 y^{5}z^{2} + 325 y^{4}z^{3} - 325 y^{3}z^{4} + 125 y^{2}z^{5}$$ es positivo.

Este polinomio es cíclico.

Sea $x = \min\{x, y, z\}$, $y = x + a$, $z = x + b$.

La sustitución da $$\left(360 a^{2} - 360 a b + 360 b^{2}\right) x^{5} + \left(540 a^{3} + 2760 a^{2} b - 2580 a b^{2} + 540 b^{3}\right) x^{4} + \left(1080 a^{4} + 2480 a^{3} b + 2520 a^{2} b^{2} - 4640 a b^{3} + 1080 b^{4}\right) x^{3} + \left(450 a^{5} + 2210 a^{4} b + 2540 a^{3} b^{2} - 1280 a^{2} b^{3} - 1220 a b^{4} + 450 b^{5}\right) x^{2} + \left(650 a^{5} b + 1755 a^{4} b^{2} - 675 a^{2} b^{4} + 250 a b^{5}\right) x + 325 a^{5} b^{2} + 325 a^{4} b^{3} - 325 a^{3} b^{4} + 125 a^{2} b^{5}$$

Si permitimos que $X = \frac{x}{\sqrt{a}\sqrt{b}},$

Para ${a}/{b}$ en el rango $\left[0.0, 0.45\right]$, el polinomio es mayor que

$$\left(601 X^{5} - 64 X^{4} - 1175 X^{3} - 225 X^{2} + 655 X + 245\right)\left(\sqrt{a}\sqrt{b}\right)^{7}$$

, que es positivo.

Para ${a}/{b}$ en el rango $\left[0.45, 0.5\right]$, el polinomio es mayor que

$$\left(540 X^{5} - 43 X^{4} - 1124 X^{3} - 205 X^{2} + 655 X + 238\right)\left(\sqrt{a}\sqrt{b}\right)^{7}$$

, que es positivo.

Para ${a}/{b}$ en el rango $\left[0.5, \infty\right)$, el polinomio es mayor que

$$\left(360 X^{5} + 21 X^{4} - 930 X^{3} - 59 X^{2} + 690 X + 238\right)\left(\sqrt{a}\sqrt{b}\right)^{7}$$

, que es positivo.

Por lo tanto, concluimos que el polinomio en cuestión es positivo.

Answer 2

Finalmente encontré una solución. De hecho, empezamos a estudiar la versión de 2 variables de esta desigualdad que tenemos:

$$\frac{a^3}{13a^2+5b^2}+\frac{b^3}{13b^2+5a^2}\geq \frac{a+b}{18}$$

Prueba:

Tenemos con $x=\frac{a}{b}$: $$\frac{x^3}{13x^2+5}+\frac{1}{13+5x^2}\geq \frac{1+x}{18}$$ O $$5(x+1)(x-1)^2(5x^2-8x+5)\geq 0$$

Entonces tenemos (si permutamos las variables $a,b,c$ y sumamos las tres desigualdades):

$$\sum_{cyc}\frac{a^3}{13a^2+5b^2}+\sum_{cyc}\frac{a^3}{13a^2+5c^2}\geq \frac{a+b+c}{9}$$

Si tenemos $\sum_{cyc}\frac{a^3}{13a^2+5b^2}\geq\sum_{cyc}\frac{a^3}{13a^2+5c^2}$

Entonces tenemos: $$\sum_{cyc}\frac{a^3}{13a^2+5b^2}\geq \frac{a+b+c}{18}$$ Pero también $$\frac{(a-\epsilon)^3}{13(a-\epsilon)^2+5b^2}+\frac{(b)^3}{13(b)^2+5(c+\epsilon)^2}+\frac{(c+\epsilon)^3}{13(c+\epsilon)^2+5(a-\epsilon)^2}\geq \frac{a+b+c}{18}$$ Si ponemos $a\geq c $ y $\epsilon=a-c$

Finalmente obtenemos: $$\sum_{cyc}\frac{a^3}{13a^2+5c^2}\geq \frac{a+b+c}{18}$$

¡Así que todos los casos están aquí, así que está demostrado!