Sea $\mathbb{H} = \{(u,v) \in \mathbb{R}^2| v>0\}$ el plano hiperbólico superior con métrica $\mu = \frac{du +dv}{v^2}$, y sea $\sigma : \mathbb{H} \rightarrow S \subset \mathbb{R}^3$ una parametrización de una superficie regular $S$ que hereda la métrica $\mu$, y supongamos que $f(u,v) = 0$ (siendo $e, f, g$ la notación estándar de los coeficientes de la segunda forma fundamental). Encuentra $e \cdot g$ como función de las coordenadas.
Mi intento de solución fue el siguiente: dado que $S$ hereda la métrica $\mu$, la primera forma fundamental es $F=0, E=G = 1/v^2 =\sqrt{EG - F^2}$. Por lo tanto, $$eg = \frac{1}{v^4} \langle\sigma_u \wedge \sigma_v,\sigma_{uu}\rangle \langle\sigma_u \wedge \sigma_v,\sigma_{vv}\rangle$$ Y no estoy seguro de cómo continuar desde aquí. ¿Estoy pasando por alto algo trivial acerca de la ortogonalidad entre las derivadas de los vectores? También creo que de alguna manera debo usar el hecho de que $\sigma_{uv}=0$.
