Prueba de $|\int^{b}_{a}fg|^2\leq(\int^{a} _{b}|fg|)^2\leq (\int^{b}_{a}f^2)(\int^{b}_{a}g^2), \forall f,g \in {\mathscr R[a,b]}.$

Question

Hay un ejercicio en un libro de Análisis que requiere establecer la Desigualdad de Cauchy-Schwarz: $|\int^{b}_{a}fg|^2\leq(\int^{a} _{b}|fg|)^2\leq (\int^{b}_{a}f^2)(\int^{b}_{a}g^2), \forall f,g \in {\mathscr R[a,b]}.$

He logrado hacerlo, pero no utilicé las pistas proporcionadas en el ejercicio (de las cuales he establecido con éxito) de la siguiente manera:

Sea $f,g \in {\mathscr R[a,b]}.$

(1) $2|\int^{b}_{a}fg|\leq t\int^{b}_{a}f^2 + \frac{1}{t}\int^{b}_{a}g^2, t>0$

(2) Si $\int^{b}_{a}f^2=0,$ entonces $\int^{b}_{a}fg=0.$

Por lo tanto, ¿podría alguien aconsejarme cómo usar esa pista? Gracias.

Answer 1

Si $\int_a^b f^2 = 0$ entonces la pista 2 te da la conclusión. De lo contrario, aplica la pista 1 con $$t = \sqrt{\frac{\int_a^b g^2}{\int_a^b f^2}}.$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \int (\sqrt{t}|f|-\frac{|g|}{\sqrt{t}})^2 \ge 0$$ así que

$$ \int tf^2+\frac{g^2}{t} \ge 2\int|fg| \ge 2|\int fg| $$

Multiplicando por $t$ obtenemos una desigualdad como esta $t^2\int f^2-2t|\int fg|+\int g^2 \ge 0$. Ahora solo busque el $t$ mínimo.