Triángulos isósceles de Herón

Question

Este es un problema del Proyecto Euler, problema 94.

El problema pregunta sobre triángulos isósceles con lados enteros (diferentes por 1 unidad, por ejemplo, 5-5-6) y área entera, que son conocidos como Triángulos Heronianos.

Ahora, según la wiki, todos los triángulos isósceles heronianos tienen lados de la forma:

$$ a = u^{2} + v^{2} \\ b = 2(u^2 - v^2) $$

para enteros coprimos u y v con u>v.

Según la pregunta, la diferencia entre a y b es 1, lo que reduce las ecuaciones a

$$ u^2 - 3v^2 = 1 \space para \space b > a \\ 3v^2 - u^2 = 1 \space para \space a > b $$

Claramente ambas son de la forma de la ecuación de Pell. Y la segunda es una ecuación de Pell negativa con D = 3, no es soluble eliminando efectivamente cualquier posibilidad de triángulos con a > b.

Ya que al resolver la primera ecuación, no obtuve todos los posibles triángulos isósceles heronianos. Sin embargo, en la web puedo encontrar soluciones considerando el caso de a > b también.

¿Dónde me equivoqué? ¿No está la pregunta hablando sobre triángulos isósceles heronianos? Y, si la wiki tiene razón, ¿cómo podemos tener triángulos con a > b cuando la ecuación de Pell correspondiente no es soluble?

Answer 1

La fórmula que escribiste para generar los triángulos heronianos no es del todo correcta. Por ejemplo, podemos tomar $u$ y $v$ impares, $a=\frac{1}{2}(u^2+v^2)$, $b=u^2-v^2$, con $u\gt v$.

Eso te dará la Pelliana $3v^2-u^2=2$, la cual sí tiene soluciones.