Sea $f\in L^\infty(\mathbb{R})$ una función acotada que satisface $0\leq f\leq 1$ y $\int f = 1$. Me pregunto si el límite $$ \| f^{\ast k} \|_{L^\infty} \leq C k^{-1/2} $$ se mantiene para la convolución iterada $k$-ésima $f^{\ast k}$. Esto parece ser una versión continua del problema de Littlewood-Offord, pero no sé cómo establecer la conexión de forma precisa.
Respuesta
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Lo siguiente demuestra la afirmación para una constante $C = C(f)$ que depende de la función $f$ que se está considerando. No sé si la afirmación se cumple con una constante que es independiente de $f$. Note que es suficiente probar la afirmación para valores grandes de $k$.
Esribamos $\phi(\xi) = \int_{\mathbb{R}} e^{i x \xi} f(x) \, d x$ para la función característica de la función de densidad de probabilidad $f$, notando que $\phi(\xi) = \widehat{f}(- \xi / (2 \pi))$, con mi normalización preferida de la transformada de Fourier $\mathcal{F} f (\xi) = \widehat{f}(\xi) = \int_{\mathbb{R}} e^{-2 \pi i x \xi} f(x) \, d x$.
Luego, utilizando la inversión de Fourier $f^{\ast k} = \mathcal{F}^{-1} \widehat{f^{\ast k}}$, el hecho de que $\| \mathcal{F}^{-1} g \|_{L^\infty} \leq \| g \|_{L^1}$, el teorema de convolución y el teorema de Plancherel, vemos que $$ \| f^{\ast k} \|_{L^\infty} \leq \| \widehat{f^{\ast k}} \|_{L^1} = \| (\widehat{f})^k \|_{L^1} . $$ Por lo tanto, es suficiente probar que $\| (\widehat{f})^k \|_{L^1} \lesssim k^{-1/2}$, cuando $k \to \infty$.
Para ver esto, utilizamos el último corolario del artículo Lower and upper bounds for characteristic functions, que establece lo siguiente:
Definimos la función de concentración de $f$ como $$ Q_f (L) := \sup_{a \in \mathbb{R}} \int_{a}^{a + L} f(x) \, d x . $$ Entonces, para cualquier $L > 0$, se cumplen las siguientes desigualdades: $$ |\phi(t)| \leq 1 - \frac{[Q_f (L)]^3}{3 \pi^2} t^2 \quad \text{para } |t| \leq \pi / L $$ y $$ |\phi(t)| \leq 1 - \frac{[Q_f (L)]^3}{3 L^2} \quad \text{para } |t| > \pi / L . $$
En lo siguiente, elegí $L = 1$---probablemente se puede optimizar el resultado al elegir otro valor. Aplicando el resultado anterior y recordando que $\phi(\xi) = \widehat{f}(- \xi / (2 \pi))$, vemos que entonces existe una constante $c = c(f) > 0$ (de hecho, $c = [Q_f(1)]^3 / 3$ servirá) que cumple \begin{equation} |\widehat{f}(\xi)| \leq 1 - c \xi^2 \quad \text{para } |\xi| \leq \frac{1}{2} \qquad \text{y} \qquad |\widehat{f}(\xi)| \leq 1 - c \quad \text{para } |\xi| > \frac{1}{2} . \tag{$\ast$} \end{equation} Note que $c \leq 1 / 3 < 1$.
Por lo tanto, vemos por un lado que \begin{align*} \int_{-1/2}^{1/2} \bigl|[\widehat{f}(\xi)]^k\bigr| \, d \xi & \leq \int_{-1/2}^{1/2} (1 - [\sqrt{c} \xi]^2)^k \, d \xi \\ & = c^{-1/2} \int_{-\sqrt{c}/2}^{\sqrt{c}/2} (1 - \eta^2)^k \, d \eta \\ & \leq 2 c^{-1/2} \int_{0}^{1} (1 - \eta^2)^k \, d \eta \\ & = c^{-1/2} \int_0^1 (1 - x)^k x^{-1/2} \, d x = c^{-1/2} \, B(k+1, \tfrac{1}{2}) \end{align*} con la función Beta usual $B(a,b) = \int_0^1 t^{a-1} (1-t)^{b-1} \, d t$. Ahora, Wikipedia me dice que existe una constante $c' > 0$ tal que (al menos para valores grandes de $k$) que $B(k+1, \tfrac{1}{2}) \leq c' \cdot (k+1)^{-1/2} \leq c' \cdot k^{-1/2}$. Por lo tanto, la "parte de baja frecuencia" está bajo control.
Para la "parte de alta frecuencia", notamos que $f \in L^1 \cap L^\infty \subset L^2$ y por lo tanto también $\widehat{f} \in L^2$ y por lo tanto también $[\widehat{f}]^2 \in L^1$ (de hecho, $\| \widehat{f} \|_{L^2} = \| f \|_{L^2} \leq 1$). Además, note que existe una constante adecuada $c'' > 0$ tal que para $k$ lo suficientemente grande que $|\widehat{f}(\xi)|^{k-2} \leq (1 - c)^{k-2} \leq c'' k^{-1/2}$ para $|\xi| > \frac{1}{2}$; aquí nuevamente usamos la estimación $(\ast)$ para $\widehat{f}$. En total, vemos entonces que $$ \int_{|\xi| > \frac{1}{2}} |\widehat{f}(\xi)|^k \, d \xi \leq c'' \cdot k^{-1/2} \cdot \int_{|\xi| > \frac{1}{2}} |\widehat{f}(\xi)|^2 \, d \xi \leq c''' \cdot k^{-1/2} . $$
Combinando las dos partes, y recordando la estimación del inicio de la prueba, hemos terminado.
Observación: La estimación principal en la que todo se basa (aparte del análisis de Fourier elemental) es la estimación $|\phi(t)| \leq 1 - c t^2$ para la función característica de una densidad de probabilidad acotada. No conocía esta estimación antes y creo que es bastante interesante.
