Ayuda con una demostración sobre conjuntos convexos

Question

Buenas con todos,tengo una duda sobre el regreso de una prueba. Si $E$ es un espacio vectorial.

$\bullet $ El segmento de recta de extremos $u,v$ es por definición el conjunto $ \left [ u,v \right ]= (1-t)u+tv:0\leq t\leq 1$

$\bullet $ $X\subset{E}$ es convexo $\Leftrightarrow $ $ (u,v\in X\Rightarrow \left [ u,v \right ]\subset X) $.

$\bullet $ $C\subset{E}$ es un cono $\Leftrightarrow $ $ (u\in C\wedge t>0\Rightarrow tu\in C) $

La prueba es la siguiente:

Sea $C\subset E $ un cono se cumple

$C$ es un conjunto convexo $\Leftrightarrow \left (u,v\in C\Rightarrow u+v\in C \right )$

$$Demostración$$ $( \Rightarrow) $

$u,v\in C\Rightarrow (1-t)u+tv\in C $ para todo $t\in\left [ 0,1 \right ]$ (ya que C es convexo)

$\Rightarrow (1-\frac{1}{2})u+\frac{1}{2}v\in C $ (tomando un valor t=1/2)

$\Rightarrow 2\left ( \frac{1}{2}u+\frac{1}{2}v\right )=u+v\in C $ (ya que C es un cono)

$(\Leftarrow) $

$u\in C \wedge (1-t)>0\Rightarrow (1-t)u\in C$

$v\in C \wedge t>0\Rightarrow tv\in C$ (lo anterior porque C es un cono)

$u,v\in C \Rightarrow (1-t)u \in C \wedge tv\in C $ para todo $t\in \left \langle 0,1 \right \rangle$ (acá tengo la duda si lo que inferí a partir de que $ u,v\in C$ es correcto)

$\Rightarrow (1-t)u+tv\in C $ para todo $t\in \left \langle 0,1 \right \rangle$ (si lo anterior fuera cierto se podria sumar los dos vectores y pertenecerian a C, tenemos ese nuevo vector que pertenece a C pero t esta en un intervalo abierto y no cerrado como dice la definición de conjunto convexo)

Tal vez haya otra forma de demostrar el regreso. Gracias!!!

Answer 1

Para demostrar el regreso de la afirmación "Si $C\subset E$ es un cono, entonces $C$ es un conjunto convexo $\Leftrightarrow (u,v\in C\Rightarrow u+v\in C)$", podemos seguir los siguientes pasos:

$(\Rightarrow)$ Supongamos que $C$ es un conjunto convexo. Sabemos que si $u,v\in C$, entonces $(1-t)u+tv\in C$ para todo $t\in[0,1]$. Tomamos $t=\frac{1}{2}$, entonces $(1-\frac{1}{2})u+\frac{1}{2}v = \frac{1}{2}u+\frac{1}{2}v \in C$. Dado que $C$ es un cono, tenemos que $2(\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}v) = u+v\in C$.

$(\Leftarrow)$ Supongamos que $u,v\in C$ implica $u+v\in C$. Tomamos $t=0$ y $t=1$ en la definición de cono para $u$ y $v$ respectivamente, entonces $0\cdot u = 0\in C$ y $1\cdot v = v\in C$. Por lo tanto, $(1-t)u+tv = u+v\in C$ para todo $t\in[0,1]$. Esto implica que $C$ es un conjunto convexo.

Con esto, hemos demostrado que si $C$ es un cono, entonces $C$ es un conjunto convexo $\Leftrightarrow (u,v\in C\Rightarrow u+v\in C)$.