Derivado de que no se preocupa contables subconjuntos?

Question

En la integración de Lebesgue, si usted cambia de una función en una contables subconjunto de su dominio, ni integrabilidad ni el valor de la integral de cambios. El mismo es, obviamente, no es cierto para la diferenciación, la cual es definida localmente a través de un límite.

Ahora me pregunto: ¿existe una definición de la diferenciación que también es "inmune" en contra de los cambios contables en subconjuntos?

Bueno, supongo que simplemente se podría definir "una función de $f$ es X-diferenciable en a $x$ si existe una función de $g$ que es diferenciable en a $x$ y está de acuerdo con $f$ casi en todas partes", pero eso suena a engaño.

Así que en realidad mi pregunta es: ¿existe un natural de la definición de derivada con esta propiedad? Donde lo "natural" significa que la definición tiene sentido incluso si usted no sabe acerca de la propiedad que debe ser "inmune" en contra de los cambios contable de conjuntos.

Answer 1

Sí, el de Lanczos generalizado derivado tendrá que
de la propiedad, siempre que su integración tiene esa propiedad.

Answer 2

Buscar "absolutamente funciones continuas", "espacios de Sobolev", "débil derivados", y "distribuciones". Los enfoques que conozco se basan en uno de dos cosas: o te dicen que un objeto (tal vez ni siquiera la función, por ejemplo, las distribuciones) es derivado de otro, si la integración por partes "funciona como normalmente". El otro se basa en señalar que no diferenciable (en el sentido usual de la palabra) la función $f$ puede ser parte integral de una función $g$; entonces es natural escribir $g=f'$. En algunos casos, estos enfoques resultan ser equivalentes. Por el camino, los físicos utilizan los derivados de todo el tiempo, generalmente de no pensar mucho, porque surge de modo natural y, a menudo, en la práctica y funciona realmente bien.