Buenas con todos, tengo una duda en la demostración que una bola abierta y una bola cerrada de $\mathbb{R}^2$ ambas de radio 1 y centro en el origen de coordenadas es convexo. Primero que nada pondré las definiciones con las que he trabajado (las cuales la saque de Curso de análisis real 2 del autor Elon Lages Lima). Sea $E$ un espacio vectorial y $u,v \in E $. El segmento de recta de extremos $u,v$ es por definición el conjunto $ [u,v]=${$(1-t)u+tv:0 \leq t \leq 1$}. Un conjunto $X\subset{E}$ se llama convexo si y solo si $u,v \in X \Rightarrow [ u,v ] \subset X$. Probar que $B=${$u\in \mathbb{R}^2:\left | u \right |\leq 1$}. Para demostrar $B$ es convexo tendría que si $u,v\in B\Rightarrow [ u,v ]\subset B$ lo que es lo mismo que $u,v\in B\Rightarrow (1-t)u+tv \in B $ donde $0\leq t\leq 1$. Ademas, como $u \in B \Leftrightarrow \left | u \right |\leq 1$. Empezaría la demostración de la siguiente manera $$u,v\in B\Leftrightarrow \left | u \right |\leq 1 \wedge \left | v \right |\leq 1 $$ $$\Leftrightarrow (1-t)\left | u \right |\leq (1-t) \wedge t\left | v \right |\leq t\text{ donde }0\leq t\leq 1$$ $$\Leftrightarrow (1-t)\left | u \right |+t\left | v \right |\leq (1-t)+t=1\text{ donde }0\leq t\leq 1$$ $$\Leftrightarrow \left | (1-t)u+tv \right |\leq (1-t)\left | u \right |+t\left | v \right |\quad \wedge \quad (1-t)\left | u \right |+t\left | v \right |\leq 1\text{ donde }0\leq t\leq 1$$ $$\Leftrightarrow \left | (1-t)u+tv \right |\leq 1\text{ donde }0\leq t\leq 1$$ $$\Leftrightarrow (1-t)u+tv \in B \text{ donde }0\leq t\leq 1 $$ Se probo que $u,v\in B\Leftrightarrow (1-t)u+tv \in B \text{ donde }0\leq t\leq 1$. Me refiero al "si y solo si" ya que yo quería probar solo el "entonces" ya que eso es un conjunto convexo por definición. Mi duda es la siguiente: ¿ En que punto de la demostración ya no puedo usar el "si y solo si" y así la demostración estaría en concordancia con la definición de conjunto convexo.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?En el punto donde tienes la desigualdad $\left | (1-t)u+tv \right |\leq (1-t)\left | u \right |+t\left | v \right |$, ya no puedes usar el "si y solo si" porque estás haciendo una afirmación unidireccional. En ese punto, estás demostrando que si $u,v \in B$, entonces $(1-t)u+tv \in B$ para $0 \leq t \leq 1$, lo cual es lo que necesitas para demostrar que $B$ es convexo. Por lo tanto, puedes concluir ahí tu demostración, sin necesidad de volver atrás y usar el "si y solo si". ¡Espero que esto aclare tu duda!
