calculo diferencial

Question

necesito Evaluar el siguiente límite trigonométrico presentado el paso a paso del desarrollo y su respuesta (Para su solución no utilizar la regla L´Hopital). lim→0((x^3+x^2+xsenx+x^2senx)/(x^3+x^2))

Answer 1

Para evaluar el límite trigonométrico, podemos simplificar la expresión antes de intentar evaluar el límite.

Primero, notemos que tanto en el numerador como en el denominador hay términos que contienen x^2. Podemos factorizar x^2 en ambos términos:

x^3 + x^2 = x^2(x + 1) x^3 + x^2 = x^2(x^2 + 1)

Ahora, podemos simplificar la expresión:

(x^3 + x^2 + xsenx + x^2senx)/(x^3 + x^2) = (x^2(x + 1) + xsenx + x^2senx)/(x^2(x^2 + 1))

Luego, podemos dividir tanto el numerador como el denominador por x^2:

(x + 1 + (xsenx)/x^2 + (x^2senx)/x^2)/(x^2 + 1)

Simplificando aún más, tenemos:

(x + 1 + (senx)/x + senx)/(x^2 + 1)

Ahora, podemos evaluar el límite cuando x tiende a 0:

lim(x→0) [(x + 1 + (senx)/x + senx)/(x^2 + 1)]

Para evaluar este límite, podemos sustituir x = 0 en la expresión:

(0 + 1 + (sen0)/0 + sen0)/(0^2 + 1) = (1 + 0/0 + 0)/(0 + 1) = (1/1) = 1

Por lo tanto, el límite del problema planteado es igual a 1.