Suma de los números enteros

Question

No, no estoy hablando de $\frac{1}{12}$.

Estaba hablando con alguien el otro día, y dijeron que la suma de todos números enteros, positivos y negativos, es cero porque todos ellos anulan unos a otros. Básicamente,

$$ \cdots+(-3) + (-2) +(-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + \cdots=0$ $

Creo, dado cómo infinito tiende a nunca funcionan de la manera que quiero, pero no tengo matemáticas a esto.

Lo que pido es esto:

¿Es la suma de los números enteros 0?

Answer 1

El modelo el concepto de "suma infinita" tomando límites de finito de sumas. Este modelo tiene el "defecto" de que el valor de una infinita suma dependerá de que el orden de la suma de los términos (en comparación con finito de sumas de dinero, donde el orden no importa). Si usted piensa que la suma de todos los números enteros como

$$\lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n (i-i)$$

entonces, sin duda, la suma es igual a $0$, sin embargo, si usted piensa que esta suma como

$$\lim_{n\to \infty} \left(\sum_{i=0}^n (i-(i+1))\right)$$

(Todos los enteros aparecen como un sumand) entonces la suma no es cero!!!, El límite no existe.

Answer 2

No realmente. Incluso no está especialmente bien planteado, para ser honesto. El problema es que la mayoría de los sospechosos de siempre detrás de la asignación de valores a la divergencia de sumas (como la declaración de que $1+2+3+\ldots=\frac{-1}{12}$) trabajo en sumas de la forma: $$\sum_{i=1}^{\infty}s_i$$ para algunos secuencia de $s_i$. ¿Por qué es esto un problema? Bueno, ellos simplemente no pueden manejar si la serie se extiende infinitamente en ambas direcciones.

Bien, podríamos intentar trabajar alrededor de ella preguntando por $$0+1-1+2-2+3-3+4-4+\ldots$$ aunque no estoy seguro de qué técnicas podrían manejar de una suma. Sin embargo, el problema es que estamos igual podría preguntar acerca de: $$0+1+2-1+3+4-2+5+6-3+7+8-4+\ldots$$ donde se incluyen los dos términos positivos para cada uno negativo - y probablemente vamos a obtener una respuesta diferente. Entonces, ¿qué orden se supone que vamos a elegir?

Para ilustrar el punto, podemos utilizar el habitual pseudo-técnicas algebraicas, o algo más rigurosos (como un Cesaro suma) para asignar el valor de $\frac{1}2$ a la suma: $$0+1+0-1+0+1+0-1+0+1+0-1+0+1+0-1+\ldots$$ pero, si se baraja la de ceros para obtener la expresión: $$1-1+0+0+1-1+0+0+1-1+0+0+1-1+\ldots$$ terminamos la asignación de una suma diferente ($\frac{1}4$), a pesar de los términos de la misma. Así que vamos a tener un comportamiento patológico en función de la ordenación - que es preocupante, porque si no tenemos orden canónico (es decir, queremos suma el conjunto $\mathbb Z$, no una enumeración de ella), no tenemos ninguna razón para pensar que no podemos pedirlo como para convencer a nuestro método de escupir a cualquier número que queremos!

Lamentablemente, la idea de sumar un conjunto es, casi exclusivamente, una medida teórica del concepto de aplicar a sólo absolutamente convergente la serie - que ni siquiera funciona en condicionalmente convergente la serie, mucho menos divergentes. Peor aún, otras técnicas tienden a querer examinar una generación de función, pero no son bidireccionales, a menos que empecemos a hablar de los coeficientes de $x^{-1}$ y así sucesivamente (que lo podría hacer, pero no sería tan útil como de costumbre, ya que la principal ventaja de este tipo de generación de función es la de ser capaz de trabajar con la serie de cerca de $0$, pero nos dejó una singularidad que hay...)

Answer 3

Ciertamente, $\sum\limits_{n = -\infty}^\infty$ n es divergente ya que para cada entero positivo de $N$, $\sum\limits_{n = -2N}^{2N+1} n = 2N+1 \ge 2$.

Parece que la persona con la que habló con interpretado $\sum\limits_{n = -\infty}^\infty$ n $\lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{i = -n}^n$, en el que caso de que la suma será igual a cero. Sin embargo, esto es incorrecto. Un bi-serie infinita de $\sum\limits_{n = -\infty}^\infty a_n$ converge si el doble de la secuencia

$$A_{m,n} := \sum\limits_{i = -m}^n a_i$$

converge. Nota $m$ es independiente de $n$. Cuando $a_i = i$ tenemos $A_{2N,2N+1} \ge 2$ para todo $N\in \Bbb$ N, por la declaración hecha anteriormente. Esto implica que el doble de la secuencia de $A_{m,n}$ es ilimitado, por lo tanto divergentes. Por lo que $\sum\limits_{n = -\infty}^\infty$ n es divergente.

Sin embargo, si usted sabe a priori que un bi-serie infinita de $\sum\limits_{n = -\infty}^\infty a_n$ converge, entonces se puede afirmar que la suma de la serie es de $\lim\limits_{n\to \infty}\sum\limits_{i = -n}^n a_i$.

Answer 4

Cuando veas escrito $\sum\limits_{i=1}^{\infty} $ x_i este término tiene un sentido sólo si es convergente la serie de $x_i$ de divergentes hacia \infty$ $ o $\infty$. Si se escriben $$... + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 +... = 0$

esta suma no se define realmente. ¿Cuál sería el término de su suma? Podría escribir $\sum\limits_{i=1}^{\infty} i$ + \sum\limits_{i=1}^{\infty $} -i$ que le $\infty - \infty$ pero esto no está definido.

Answer 5

EDIT: Disparar. Me acabo de dar cuenta que el op no estaba preguntando acerca de la -1/12. Yo no puedo entender cómo retirar la respuesta. Oh, bueno, lo que he publicado todavía es relevante para la suma de una serie infinita.

La suma es indefinido, como otros entrevistados han señalado. Si recuerdo correctamente, este es un ejemplo de lo que se llama "Ramanajan Suma." Hay un artículo de wiki sobre el tema. Soy nuevo en el suministro de las respuestas, así que no sé si los enlaces de la wikipedia es kosher.

Anyhoo, el Ramanajan suma se supone que es una forma de dar un valor a una infinita suma con el fin de estudiar las propiedades de las sumas parciales, pero no lo es (creo) el propósito de tomarse demasiado en serio como la suma de toda la serie.

Técnicamente, se supone que tienes que poner un poco de anotación después de la suma para indicar que no estás usando una regular suma. E. g.:

1+2+3+4+... = 1/12 (R)

donde la "R" indica Ramanajan suma.

Espero que esto te ayuda...