Principio de palomar - problema con un ejercicio.

Question

Buenas, tengo el siguiente ejercicio:

"Doce personas están sentadas en una fila de 16 sillas. Muestre que hay al menos tres sillas consecutivas con personas sentadas en ellas"

A mi se me ocurrió lo siguiente:

Sentar a 11 personas con esta distribución (P = persona, _ = silla vacía)

PP_PP_PP_PP_PP_P

Si agrego a una persona más (12 seria el mínimo), entonces se puede asegurar que van a haber al menos 3 sillas consecutivas con personas sentadas en estas.

Ejemplos: PP_PP_PP_PP_PPPP; PP_PP_PPPPP_PP_P

Mi duda es, ¿Cómo podría resolver el problema utilizando de alguna forma el principio de palomar? Intente de alguna forma hallar ese 12 que seria el mínimo, pero usando la formula n(r −1) +1 y no me salió (tal vez tome mal al n y al r).

Answer 1

El principio de palomar establece que si tenemos n palomas y r palomares, y n > r, entonces al menos uno de los palomares debe contener más de una paloma.

En este caso, podemos considerar las personas como palomas y las sillas como palomares. Si tenemos 12 personas y 16 sillas, entonces según el principio de palomar, al menos una de las sillas debe tener más de una persona sentada en ella.

Para demostrar que hay al menos tres sillas consecutivas con personas sentadas en ellas, podemos hacer un razonamiento similar. Si tenemos 12 personas y 16 sillas, entonces hay 15 posibles conjuntos de tres sillas consecutivas. Si cada persona se sienta en una silla distinta, solo ocuparían 12 sillas y quedarían 3 sillas vacías. Esto implicaría que al menos uno de los conjuntos de tres sillas consecutivas estaría vacío.

Por lo tanto, para asegurar que hay al menos tres sillas consecutivas con personas sentadas en ellas, necesitamos al menos 13 personas. Si tenemos 12 personas, como en el ejemplo que mencionaste, no podemos garantizar que haya tres sillas consecutivas ocupadas.