Ley de la expectativa total y de la expectativa condicional

Question

Sabemos por la ley de la expectativa total que $$ \mathbb{E}[\mathbb{E}[Y|X]]=\mathbb{E}[Y] $$ ¿Sigue funcionando si existe una condición adicional, es decir, si se cumple esta ecuación? $$ \mathbb{E}[\mathbb{E}[Y|X]|Z=z]=\mathbb{E}[Y|Z=z] $$

Answer 1

No, no es así. Un contraejemplo sería $Y=Z$ , $X$ independiente de $Y$ . Entonces $ \mathbb{E}[\mathbb{E}[Y|X]] = \mathbb{E}Y$ , $$\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y|X]|Z=z] = \mathbb{E} Y,$$ $$\mathbb{E}[Y|Z=z] = z.$$

Por supuesto, necesitamos $Y$ no degenerada.