En un $\triangle ABC,$ Si $\cot A+\cot B+\cot C =\sqrt{3},$ Entonces demuestre que $\triangle$ es equilátero.
$\bf{My\; Try::}$ Utilizando la desigualdad de Jensen,
Sea $f(x)=\cot x\;,$ Dónde $x\in (0,\pi),$ Entonces $f'(x) = -\csc^2 x$ y $f''(x) = 2\csc^2 x\cdot \cot x$
Así obtenemos $\displaystyle f''(x) = \frac{2\cos x}{\sin^3 x}>0$ en $\displaystyle x\in (0,\pi)-\left\{\frac{\pi}{2}\right\}$
Así que $$\displaystyle\frac{\cot A+\cot B+\cot C}{3}\geq \cot\left(\frac{A+B+C}{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
Así obtenemos $\cot A+\cot B+\cot C\geq \sqrt{3}$
Pero yo no entendía cómo podemos demostrar que $\triangle$ son equiláteros
Gracias
