Límites en espacios topológicos

Question

Intentaba demostrar que los números reales no son compactos en la topología cotable, pero estoy un poco confuso sobre cómo funcionan las secuencias en los espacios topológicos.

Consideré $ X_n = \mathbb{R} - \{n, n+1, ... \} $ y quieren mostrar $ \mathbb{R} $ es la unión de todas ellas, pero esto depende de $ (x_n) := \{n : n \epsilon \mathbb{N}\} $ ¿Hasta el infinito? No estoy seguro de cómo mostrar esto para un espacio topológico.

Answer 1

No hay necesidad de considerar las secuencias en absoluto, sólo tiene que demostrar que $\mathscr{X}=\{X_n:n\in\Bbb N\}$ es una cubierta abierta de $\Bbb R$ que no tiene subcubierta finita. Claramente $\Bbb R\setminus\Bbb N\subseteq X_n$ para cada $n\in\Bbb N$ y para $k,n\in\Bbb N$ tenemos $n\in X_k$ sólo si $k>n$ por lo que, en particular $n\in X_{n+1}$ y $\mathscr{X}$ es una cubierta abierta de $\Bbb R$ . Pero si $\mathscr{R}$ es un subconjunto finito de $\mathscr{X}$ , dejemos que $m=\max\{n\in\Bbb N:X_n\in\mathscr{R}\}$ Entonces $m\notin\bigcup\mathscr{R}$ Así que $\mathscr{X}$ no tiene subcubierta finita.

Puede obtener un ejemplo aún más eficaz dejando que $C_n=\Bbb N\setminus\{n\}$ para cada $n\in\Bbb N$ y, a continuación, establecer $U_n=\Bbb R\setminus C_n$ : $\mathscr{U}=\{U_n:n\in\Bbb N\}$ es una cubierta abierta de $\Bbb R$ pero para cada $n\in\Bbb N$ el único miembro de $\mathscr{U}$ que contiene $n$ es $U_n$ así que claramente $\mathscr{U}$ no tiene una subcubierta adecuada, y mucho menos una finita.

Por cierto, la convergencia de secuencias en la topología co-contable sobre $\Bbb R$ es extremadamente simple: es un bonito (y bastante fácil) ejercicio demostrar que una secuencia $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ converge si y sólo si es eventualmente constante, es decir, si y sólo si existe un $m\in\Bbb N$ tal que $x_n=x_m$ para todos $n\ge m$ . Por supuesto, en este caso la secuencia converge a $x_m$ .