La cuestión es si la prueba de Hatcher que se dan a continuación siguen funcionando si eliminamos la parte sobre $f^{-1}(x)$ ¿ser compacto?
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Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En la prueba se demuestra que, dado un bucle $f$ en $\mathbb{S}^n$ con punto base $x_0$ y otro punto $x\neq x_0$ es posible producir un bucle $g$ homotópico a $f$ que evita $x$ . Es completamente posible que el conjunto $f^{-1}(B)$ consiste en infinitos intervalos abiertos disjuntos $(a_i,b_i)$ pero la compacidad de $f^{-1}(x)$ garantiza que $f$ hits $x$ sólo en finitamente muchos de esos intervalos. Por lo tanto, necesitamos deformar $f$ sólo en un número finito de intervalos $(a_i,b_i)$ .
Supongamos que no supiéramos que $f^{-1}(x)$ es compacta y, en consecuencia, intenta deformar $f$ en cada intervalo $(a_i,b_i)$ . Más concretamente, dada una homotopía $H_i:[a_i,b_i]\times\mathbb{I}\to\mathbb{S}^n$ deformación $f_i$ a $g_i$ (donde $f_i$ es la restricción de $f$ a $[a_i,b_i]$ et $g_i$ es un camino dentro de $B$ de $f(a_i)$ a $f(b_i)$ que evita $x$ ) para cada $i$ definimos $$H:\mathbb{I}\times\mathbb{I}\to\mathbb{S}^n,H(s,t)= \begin{cases}H_i(s,t), & s\in[a_i,b_i] \\ f(s), & \text{otherwise}. \end{cases}$$ Obsérvese que se trata de una función completamente bien definida, pero el problema es que no hay ninguna garantía de que $H$ es continua, ya que posiblemente hemos manipulado $f$ en infinitos intervalos $[a_i,b_i]$ .
La compacidad de $f^{-1}(x)$ resuelve este problema, porque si deformamos $f$ sólo en intervalos finitos, entonces podemos aplicar la siguiente proposición general para demostrar la continuidad de $H$ . Si $X=F_1\cup F_2\ldots\cup F_k$ donde $F_i$ están cerrados y $f$ es una función tal que las restricciones de $f$ a cada $F_i$ son continuas, entonces $f$ es continua.
Añadido: ¿Por qué manipular $f$ en infinitos intervalos puede causar problemas con respecto a la continuidad? Espero que el siguiente ejemplo no sea demasiado irrelevante para la cuestión que nos ocupa. Al menos demuestra que si cambiamos una función continua en infinitos intervalos de tal manera que todas las restricciones de la nueva función a estos intervalos siguen siendo continuas, entonces en general no podemos concluir que la nueva función sea continua.
Sea $f$ sea la función cero en $[0,1]$ y considerar la colección contablemente infinita de intervalos $(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}),n\in\mathbb{N}$ . En cada cambio de intervalo $f$ de modo que la gráfica de la nueva función, digamos $g$ en este intervalo será a $\wedge$ -con una protuberancia máxima $1$ e infimum $0$ . En particular, $g$ restringido a cualquiera de los intervalos será continuo. Sin embargo, $g$ no es continua en $0$ ya que los puntos medios de los intervalos se consideran $1$ pero $g(0)=0\neq 1$ .
