Si $X \sim \mathrm{Gamma}(\alpha,1)$ et $Y \sim \mathrm{Gamma}(\beta,1)$ es $X/(X+Y) \sim \mathrm{Beta}(\alpha,\beta)$ ?

Question

Según Wikipedia :

$\mathrm{Beta}(\alpha,\beta) = \mathrm{Gamma}(\alpha,\theta) / (\mathrm{Gamma}(\alpha,\theta) + \mathrm{Gamma}(\beta,\theta))$

Sin embargo, cuando intento simular esto en R :

> m <- 2^11
> a <- rgamma(m,1,1) / (rgamma(m,1,1) + rgamma(m,1,1))
> quantile(a,1:9/10)
0.05576023 0.12110211 0.19886341 0.29088744 0.41851181 
0.56698135 0.80151216 1.20748646 2.13406961
> qbeta(1:9/10,1,1)
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Esas dos distribuciones no me parecen iguales en los percentiles inferior y superior, ni siquiera cuando aumento el índice del bucle de simulación m . La simulación funciona para $\alpha$ et $\beta$ sin embargo.

Entiendo que desde $\mathrm{Gamma}(1,1)$ es idéntica a $\mathrm{Exponential}(1)$ dividir un número exponencial por la suma de dos números exponenciales puede dar un resultado mayor que 1, mientras que la distribución Beta sólo admite números reales en $(0,1)$ por lo que no entiendo cómo la fórmula anterior podría ser correcta para cualquier $\alpha$ y cualquier $\beta$ (aunque sean pequeñas) ?

¿He confundido la función Gamma con la distribución Gamma, o se trata de otra cosa?

Answer 1

La fórmula correcta es: Si $X \sim \mathrm{Gamma}(\alpha,\theta)$ et $Y \sim \mathrm{Gamma}(\beta,\theta)$ y $X$ et $Y$ son independientes, entonces:

$\mathrm{Beta}(\alpha,\beta) = X/(X+Y)$

Que requiere la variable $X$ siendo el mismo en el numerador y el denominador.
Una simulación correcta en R debería ser:

> m <- 2^16
> x <- rgamma(m,1,1)
> y <- rgamma(m,1,1)
> a <- x/(x+y)
> quantile(a,1:9/10)
0.09974079 0.20052892 0.30086288 0.40084320 0.50010657 
0.60012512 0.70155472 0.80055784 0.90050201 
> qbeta(1:9/10,1,1)
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9