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Problema mínimo

Sea f:RR viene dada por f(m)=12m2+1βm0g1(s)ds.

donde β es una constante positiva, g:RR es una función cuya derivada es positiva. En particular, es estrictamente creciente y globalmente lipschitz con g(0)=0 es decir, hay k1>0 tal que |g(x)g(y)|k1|xy| ,  x,yR . En particular, |g(x)|k1|x| ,  xR . Supongamos que k1β>1 .

Afirmación: f tiene el mínimo global.

Intento:

Quiero mostrar inicialmente que f tiene un mínimo. Si f tiene un mínimo global, entonces debemos tener f . Por lo tanto, derivar f tenemos f''(m) = -1 + \frac{1}{\beta}(g^{-1})'(m) = -1 + \frac{1}{\beta g'(m)}.

Ahora bien, puesto que g es globalmente Lipschitz, debemos tener |g'(m)| \leq k_1 de lo que se deduce que \frac{1}{\beta k_1} \leq \frac{1}{\beta g'(m)} . Así, f''(m) = -1 + \frac{1}{\beta g'(m)} \geq -1 + \frac{1}{k_1 \beta}.

A partir de aquí, no podemos concluir nada, ya que k_1\beta > 1 por hipótesis.

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lmf_math Puntos 33

Sea g(s) = s/2 y \beta = 3 . Tenga en cuenta que:

\bullet g es una función cuya derivada es positiva;

\bullet g es estrictamente creciente;

\bullet g(0) = 0 y es globalmente Lipschitz, con constante k_1 = 1/2 .

Así que tenemos \beta \cdot k_1 = 3/2 > 1 Además f(m) = -\dfrac{1}{2}m^2 + \dfrac{1}{3}\int_0^m 2sds = -\dfrac{1}{2}m^2 + \dfrac{1}{3}m^2 = -\dfrac{1}{6}m^2 < 0. Por lo tanto, f es una parábola que no tiene punto mínimo.

Nota: Creo que las cuentas que desea trabajar para f(m) = \frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{\beta}\int^m_{0} g^{-1}(s)ds.

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