Problema mínimo

Question

Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ viene dada por $$f(m) = \frac{-1}{2}m^2 + \frac{1}{\beta}\int^m_{0} g^{-1}(s)ds.$$

donde $\beta$ es una constante positiva, $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es una función cuya derivada es positiva. En particular, es estrictamente creciente y globalmente lipschitz con $g(0) = 0$ es decir, hay $k_1 > 0$ tal que $|g(x) - g(y)| \leq k_1|x - y|$ , $\forall \ x, y \in \mathbb{R}$ . En particular, $|g(x)| \leq k_1|x|$ , $\forall \ x \in \mathbb{R}$ . Supongamos que $k_1\beta > 1$ .

Afirmación: $f$ tiene el mínimo global.

Intento:

Quiero mostrar inicialmente que $f$ tiene un mínimo. Si $f$ tiene un mínimo global, entonces debemos tener $f'' > 0$ . Por lo tanto, derivar $f$ tenemos $$f''(m) = -1 + \frac{1}{\beta}(g^{-1})'(m) = -1 + \frac{1}{\beta g'(m)}.$$

Ahora bien, puesto que $g$ es globalmente Lipschitz, debemos tener $|g'(m)| \leq k_1$ de lo que se deduce que $\frac{1}{\beta k_1} \leq \frac{1}{\beta g'(m)}$ . Así, $$f''(m) = -1 + \frac{1}{\beta g'(m)} \geq -1 + \frac{1}{k_1 \beta}.$$

A partir de aquí, no podemos concluir nada, ya que $k_1\beta > 1$ por hipótesis.

Answer 1

Sea $g(s) = s/2$ y $\beta = 3$ . Tenga en cuenta que:

$\bullet$ $g$ es una función cuya derivada es positiva;

$\bullet$ $g$ es estrictamente creciente;

$\bullet$ $g(0) = 0$ y es globalmente Lipschitz, con constante $k_1 = 1/2$ .

Así que tenemos $\beta \cdot k_1 = 3/2 > 1$ Además $$f(m) = -\dfrac{1}{2}m^2 + \dfrac{1}{3}\int_0^m 2sds = -\dfrac{1}{2}m^2 + \dfrac{1}{3}m^2 = -\dfrac{1}{6}m^2 < 0.$$ Por lo tanto, $f$ es una parábola que no tiene punto mínimo.

Nota: Creo que las cuentas que desea trabajar para $$f(m) = \frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{\beta}\int^m_{0} g^{-1}(s)ds.$$