Sea f:R→R viene dada por f(m)=−12m2+1β∫m0g−1(s)ds.
donde β es una constante positiva, g:R→R es una función cuya derivada es positiva. En particular, es estrictamente creciente y globalmente lipschitz con g(0)=0 es decir, hay k1>0 tal que |g(x)−g(y)|≤k1|x−y| , ∀ x,y∈R . En particular, |g(x)|≤k1|x| , ∀ x∈R . Supongamos que k1β>1 .
Afirmación: f tiene el mínimo global.
Intento:
Quiero mostrar inicialmente que f tiene un mínimo. Si f tiene un mínimo global, entonces debemos tener f″ . Por lo tanto, derivar f tenemos f''(m) = -1 + \frac{1}{\beta}(g^{-1})'(m) = -1 + \frac{1}{\beta g'(m)}.
Ahora bien, puesto que g es globalmente Lipschitz, debemos tener |g'(m)| \leq k_1 de lo que se deduce que \frac{1}{\beta k_1} \leq \frac{1}{\beta g'(m)} . Así, f''(m) = -1 + \frac{1}{\beta g'(m)} \geq -1 + \frac{1}{k_1 \beta}.
A partir de aquí, no podemos concluir nada, ya que k_1\beta > 1 por hipótesis.