Integral misteriosa en el primer número de Annals of Mathematics

Question

Vol 1. No. 1 de Anales de Matemáticas tiene una sección de "Ejercicios" con esta inusual integral enviado por un tal profesor Lewis Green Barbour:

$$\int_{\frac \pi 2}^\pi \sqrt{1-\frac 1 2 \cos^2\vartheta + \sin\vartheta\sin2\vartheta}\,{\rm d}\vartheta$$

Los demás ejercicios se responden en ediciones posteriores, pero éste parece haber sido olvidado en silencio.

He probado programas modernos y no resuelven la integral indefinida. Los métodos numéricos dan un valor:

$$\approx 0.8277600029391442$$

Sin embargo, esto no parece ser un número de forma cerrada de ninguna manera obvia. Las búsquedas en diversas bases de datos numéricas no arrojan nada.

¿Tiene esta integral una solución de forma cerrada? En caso negativo, ¿qué métodos habría utilizado un lector de 1884 para resolverla? Dado lo famoso que es el Anales se convirtió, ¿este ejercicio sin resolver del primer número tiene algún tipo de historia asociada?

Answer 1

$$I=\int\sqrt{1-\frac{1}{2} \cos ^2(x)+\sin (x) \sin (2 x)}\,dx$$ Utilización de fórmulas de ángulos múltiples $$I=\frac 12 \int \sqrt{3+2 \cos (x)-\cos (2 x)-2 \cos (3 x)}\,dx$$ $$x=\cos^{-1}(t) \quad \implies \quad I=-\frac 12 \int \sqrt{\frac{4+8 t-2 t^2-8 t^3 }{1-t^2 }}\,dt$$

El integrando es mínimo en un punto donde $$2t^4-4 t^2+t+2=0$$ y conocemos el valor exacto de la raíz $a$ de interés.

$$J=\int_{\frac \pi 2}^\pi\sqrt{1-\frac{1}{2} \cos ^2(x)+\sin (x) \sin (2 x)}\,dx$$ $$J=\frac 12 \int_{-1}^a \sqrt{\frac{4+8 t-2 t^2-8 t^3 }{1-t^2 }}\,dt+\frac 12 \int_{a}^0 \sqrt{\frac{4+8 t-2 t^2-8 t^3 }{1-t^2 }}\,dt$$ Para cada integral, utilizando la expansión en serie alrededor de cada límite de $t$ . Integración térmica y conversión a decimales

$$\frac 12 \int_{-1}^a \cdots \,dt =0.418355365493$$ $$\frac 12 \int_{a}^0 \cdots \,dt =0.409404637296$$ hacen un total de $$\frac 12 \int_{-1}^0 \cdots \,dt= \color{red}{0.827760002}79$$ para ser comparado con $\color{red}{0.82776000294}$

Answer 2

El problema es calcular $$I=\frac 12 \int_{\frac \pi 2}^\pi \sqrt{3+2 \cos (x)-\cos (2 x)-2 \cos (3 x)}\,dx$$ el integrando es mínimo en $$x_*=\pi -\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$$

Utilizando la expansión en serie en torno a $x=\frac \pi 2$ $$\frac 12 \sqrt{3+2 \cos (x)-\cos (2 x)-2 \cos (3 x)}=\sum_{n=0}^\infty a_n\left(x-\frac{\pi }{2}\right)^n$$ $$I_1=\frac 12 \int_{\frac \pi 2}^{x_*} \sqrt{3+2 \cos (x)-\cos (2 x)-2 \cos (3 x)}\,dx$$ $$\color{blue}{I_1=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{(n+1)}\left(\frac{\pi }{2}-\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\right)^{n+1}}$$ En $x=\pi$ $$\frac 12 \sqrt{3+2 \cos (x)-\cos (2 x)-2 \cos (3 x)}=\sum_{n=0}^\infty b_n\left(\pi-x\right)^{2n}$$ $$I_2=\frac 12 \int_{x_*}^{\pi} \sqrt{3+2 \cos (x)-\cos (2 x)-2 \cos (3 x)}\,dx$$ $$\color{blue}{I_2=\sum_{n=0}^\infty \frac{b_n}{(2n+1)}\left(\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\right)^{2 n+1}}$$

Los coeficientes necesarios se conocen explícitamente a partir de los del cuadrado del integrando (son simples).

Entonces, el resultado.

Editar

Definición de $$S_p=\sum_{n=0}^{2p} \frac{a_n}{(n+1)}\left(\frac{\pi }{2}-\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\right)^{n+1}+\sum_{n=0}^p \frac{b_n}{(2n+1)}\left(\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\right)^{2 n+1}$$ tenemos una serie oscilante de convergencia muy lenta (como mencionó @user2249675 aquí ) y la primera vez la cadena $0.8277600$ aparece es para $p=90$ .

He utilizado el mismo procedimiento para la integral entre $0$ y $\pi$ dividiendo el intervalo en tres regiones $$0 \leq x \leq \frac \pi 3 \qquad \frac \pi 3 \leq x \leq \pi -\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\qquad \pi -\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right) \leq x \leq \pi$$

Answer 3

Utilizando la serie Maclaurin $\sqrt{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}{2n\choose n}}{4^n(2n-1)}x^n$ la integral dada $\int_0^1\frac{\sqrt{1+(1-t^2)(1-4t)}}{\sqrt2\,\sqrt{1-t^2}}dt$ puede escribirse como $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}{2n\choose n}}{4^n\,\sqrt2\,(2n-1)}\int_0^1(1-4t)^n(1-t^2)^{n-\frac12}dt$$ y $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}{2n\choose n}}{4^n\,\sqrt2\,(2n-1)}\int_0^{\pi/2}(1-4\sin\theta)^n(\cos\theta)^{2n}\,d\theta$$ donde la integral $\int_0^{\pi/2}(1-4\sin\theta)^n(\cos\theta)^{2n}\,d\theta=\sum_{k=0}^n(-1)^k2^{2k-1}{n\choose k}B(k+1,2n+1)$ pueden expresarse en términos de funciones beta.