Demuestre que $H$ es un subgrupo normal de $G$ .

Question

Sea $N$ sea un subgrupo normal de $G$ . Sea $H$ sea el conjunto de todos los elementos $h$ de $G$ tal que $hn = nh$ para todos $n \in N$ . Demuestre que $H$ es un subgrupo normal de $G$ .

Mi intento: He estado intentando hacer este ejercicio y hasta ahora he podido demostrar que $H$ es un subgrupo normal de $N$ (la prueba es similar a demostrar que el centro es un subgrupo), pero que $H$ es un subgrupo normal de $N$ no siempre implica que $H$ sea un subgrupo normal de $G$ . ¿Cómo podría demostrar en este caso que $H$ es efectivamente un subgrupo normal de $G$ ?

Answer 1

Sea $h\in H, n\in N$ para cada $g\in G$ , $ghg^{-1}n(ghg^{-1})^{-1}$

$=ghg^{-1}ngh^{-1}g^{-1}$ ya que $N$ es normal, $g^{-1}ng\in N$ deducimos que $hg^{-1}ngh^{-1}=g^{-1}ng$ esto implica que

$ghg^{-1}n(ghg^{-1})^{-1}=gg^{-1}ngg^{-1}=n.$

Answer 2

Tenemos que demostrar que si $h \in H$ y $g \in G$ entonces $g^{-1}hg \in H$ . Tenga en cuenta que $x \in H$ si $xnx^{-1} = n$ para cada $n \in N$ (es decir, si la conjugación por $x$ fija $N$ ). Para cualquier $g \in G$ , $h \in H$ y $n \in N$ tenemos: $$ \begin{align*} (g^{-1}hg)n(g^{-1}hg)^{-1} &= (g^{-1}hg)n(g^{-1}h^{-1}g) \\ &= g^{-1}(h(gng^{-1})h^{-1})g \\ &= g^{-1}(gng^{-1})g \tag*{because $gng^{-1} \in N$ and $h \in H$} \\ &= (g^{-1}g)n(g^{-1}g) \\ &= n \end{align*} $$ Así que con $x = g^{-1}hg$ tenemos $xnx^{-1} = n$ para cada $n \in N$ de modo que $x \in H$ que es lo que teníamos que demostrar.

Answer 3

\begin{alignat}{1} H &= \{g\in G\mid gn=ng, \forall n\in N\} \\ &= \bigcap_{n\in N}\{g\in G\mid gn=ng\} \\ &= \bigcap_{n\in N}\{g\in G\mid gng^{-1}=n\} \\ &= \bigcap_{n\in N}G_n \\ \end{alignat}

donde $G_n$ es el estabilizador de $n\in N$ bajo el $G$ -acción sobre $N$ por conjugación. Por lo tanto, $H$ es el núcleo de dicha acción y, por tanto, es un subgrupo normal de $G$ .

Answer 4

Hay que empezar por mostrar $H\le G$ .

Utilizaré el prueba de subgrupos en dos fases .

Puesto que para cualquier $n\in N$ tenemos $en=n=ne$ Así que $e\in H$ . Por lo tanto $H\neq\varnothing$ .

Por definición, puesto que $H$ se compone únicamente de elementos de $G$ tenemos $H\subseteq G$ .

Sea $h,k\in H$ . Entonces $nh=hn$ y $nk=kn$ Así que $$k^{-1}n^{-1}=(nk)^{-1}=(kn)^{-1}=n^{-1}k^{-1},$$ pero, multiplicando por $n$ a la izquierda y a la derecha, tenemos $nk^{-1}=k^{-1}n$ Así que $k^{-1}\in H$ . También,

$$\begin{align} n(hk)&=(nh)k\\ &=(hn)k\\ &=h(nk)\\ &=h(kn)\\ &=(hk)n, \end{align}$$

así que $hk\in H$ .

Por lo tanto $H\le G$ .

Para la normalidad, para $n\in N$ , $g\in G$ , $h\in H$ tenemos

$$\begin{align}(ghg^{-1})n(ghg^{-1})^{-1}&=(ghg^{-1})n(gh^{-1}g^{-1})\\ &=g(h(g^{-1}ng)h^{-1})g^{-1}\\ &=g(g^{-1}ng)g^{-1}\\ &=(gg^{-1})n(gg^{-1})\\ &=n \end{align}$$

por definición de $H$ y $g^{-1}ng\in N\unlhd G$ . Pero entonces $(ghg^{-1})n=n(ghg^{-1})$ . Por lo tanto $ghg^{-1}\in H$ .

Por lo tanto $H\unlhd G$ .