Lógicamente hablando, ¿por qué variables pueden ser sustituidos?

Question

Supongamos que $$a^2+a+1=b$$ Supongamos también que $a=5/4$. Lo que la hace válida para sustituir a $5/4$ en la primera ecuación? Es porque la igualdad es transitiva?

Answer 1

Es sólo un principio básico de la lógica de primer orden con igualdad, que si $a = b$ $P(b)$ para una fórmula $P$,$P(a)$. Es probablemente el aspecto más importante de la igualdad, que por lo general "va sin decir" en matemáticas, excepto en la lógica de los cursos.

Answer 2

La razón por la que usted puede hacer esta sustitución es que $a$ $\dfrac{5}{4}$ son exactamente el mismo, sólo escriben de forma diferente. He aquí una de largo aliento manera de hacer la sustitución de describir.

$$\begin{align*} a &= \frac{5}{4} & \\ a^2 &= \left(\frac{5}{4}\right)^2 &\text{squaring both sides}\\ a^2 + a &= \left(\frac{5}{4}\right)^2 + \frac{5}{4} &\text{adding the first two lines}\\ a^2 + a + 1 &= \left(\frac{5}{4}\right)^2 + \frac{5}{4}+1 &\text{adding %#%#% to both sides}\\ b &= \left(\frac{5}{4}\right)^2 + \frac{5}{4}+1 &\text{using the fact that %#%#% satisfies the given equation} \end{align*}$$

El lado derecho es, precisamente, lo que se obtiene al sustituir a $1$$a$.

Answer 3

Hay al menos dos maneras de entender la igualdad.

Una forma de tratar es como una primitiva lógica de la identidad signo: $a=b$ significa que '$a$ " y "$b$ ' hay signos para la misma cosa. Ya que representan uno y el mismo objeto, de cualquier propiedad que puede ser probada de que el objeto representado por $a$ también debe tener el objeto representado por $b$, debido a que son el mismo objeto. En este caso se obtiene automáticamente un general principio de sustitución: $a$ puede ser sustituido por $b$ porque significan la misma cosa: son nombres para el mismo objeto.

Otra manera de proceder es la forma en que la teoría de conjuntos ZF hace, y a tomar la igualdad como una propiedad definida. Por ejemplo, ZF dice que '$a=b$' es una abreviatura de $$\forall x(x\in a\iff x\in b).$$

Dos conjuntos se definen a ser iguales si contienen los mismos elementos. Si uno hace esto, la sustitución debe ser afirmada axiomáticamente, o se demostró como un teorema. Sin esa prueba (trivial si la sustitución es un axioma) puede o no celebrar. La transitividad es similar.

Pero la costumbre de la comprensión en el álgebra es la primera: cuando escribimos algo como '$x = \frac54$' nos referimos a que el nombre '$x$' es un sinónimo de cualquier objeto que se denota por a $\frac54$.