Operador compacto en espacios de Hilbert $T^2$

Question

Tengo el siguiente problema:

Sea H un espacio de Hilbert

a) Demuestre que si $T: H\to H$ es compacto, entonces $T^2$ es un operador compacto

b) Encontrar $S: H\to H$ compacto tal que $S=T^2$ con T no compacto

c)Si T es autoadjunto entonces $T^2$ compacto implica que T es compacto.

He conseguido demostrar (a). Alguien me puede dar alguna idea para las otras peticiones. Gracias de antemano.

Answer 1

A) Utilizas que los compactos son un ideal.

b) Que $T$ sea el operador definido en la base canónica por $Te_{2j-1}=0$ , $Te_{2j}=e_{2j+1}$ , $j\in\mathbb N$ . Entonces $T$ no es compacto, ya que mapea un conjunto ortonormal infinito en otro. Pero $T^2=0$ que, por supuesto, es compacto.

c) Para cualquier $T$ si $T^*T$ es compacto, entonces también lo es $T$ . Porque entonces $|T|=(T^*T)^{1/2}$ es compacto (ya que es un límite de compactos), y $T=V|T|$ mediante la descomposición polar. Esto implica la afirmación en el caso autoadjunto.