Recientemente he visto el vídeo "Una ecuación diferencial muy interesante" de Michael Penn (enlace: https://www.youtube.com/watch?v=rNUfiQgj6ZI&t=308s ) en la que resuelve la siguiente ecuación diferencial:
$$f'(x)=f^{-1}(x)$$
La forma en que aborda la resolución de esta ecuación diferencial es suponiendo que la solución $f(x)$ debe pertenecer a la misma "clase" de funciones que $f'(x)$ y $f^{-1}(x)$ . La función que satisface este criterio es $f(x)=Cx^n$ . La solución exacta de esta ecuación diferencial es $$f(x)=\sqrt[\huge{\phi}]{\frac{1}{\phi}}\cdot x^{\Large{\phi}}$$ donde $\phi$ es la proporción áurea.
Tengo un conocimiento muy básico de álgebra abstracta y estoy tratando de conseguir una buena intuición de por qué la suposición de que $f(x)$ tiene que estar en la misma "clase" que $f'(x)$ y $f^{-1}(x)$ conduce a la solución correcta. Mi intento actual de explicar este enfoque es el siguiente (aunque con una terminología matemática terrible):
La razón por la que buscamos una función en la que $f'(x)$ y $f^{-1}(x)$ pertenecen a la misma "clase" de funciones es que entonces tanto la derivada como la inversa de esa función comparten la misma estructura algebraica (o propiedades algebraicas similares), lo que hace que la ecuación pueda resolverse.
Si es así, ¿es entonces posible demostrar la existencia de soluciones a tales ecuaciones analizando el "comportamiento algebraico" o las propiedades del operador de derivación y las propiedades algebraicas de todas las clases de funciones conocidas? ¿Es así por ejemplo (de forma muy simplificada) como demostramos que $F(x)=\int \exp(-x^2) dx$ no puede escribirse con nuestras funciones conocidas?
No busco una explicación matemática completa, aunque agradecería mucho si alguien me puede enlazar alguna pregunta relacionada, enlaces wiki o bibliografía que explique la resolución de ecuaciones diferenciales de forma intuitiva.
