Hallar el menor valor posible de una integral

Question

Digamos que tenemos una integral, como esta

$$\int_{0}^1 (x-a)^2\, dx$$

y se le pide que encuentre el menor valor posible de la misma, como a varía. ¿Cómo puedo hacerlo? Además, ¿hay alguna regla que pueda utilizar para resolver este tipo de preguntas? Agradeceré cualquier ayuda.

Answer 1

\begin{align} \int_{0}^{1} (x-a)^2 &= \frac{(x-a)^3}{3} \Bigg \rvert_0^1 \\ &=\frac{(1-a)^3}{3} - \frac{(-a)^3}{3}\\ &=a^2-a+\frac{1}3\\ &=\left(a-\frac 12\right)^2+\frac {1}{12} \ge \frac{1}{12} \end{align}

Answer 2

$$\frac{d}{da}\int_{0}^{1}(x-a)^2 = 2\int_{0}^{1}(a-x)\,dx $$ es igual a cero si $a=\frac{1}{2}$ y dicho valor está claramente asociado a un mínimo absoluto, igual a $$\int_{0}^{1}\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^2\,dx\stackrel{\text{Archimedes}}{=}\frac{1}{3}\cdot 1 \cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{12}.$$ ¿Te gusta la exageración? Los polinomios de Legendre desplazados dan una base ortogonal de $L_2(0,1)$ con respecto al producto interior habitual. De ello se deduce que el $L^2$ -de un polinomio de la forma $\alpha P_0(2x-1)+\frac{1}{2}P_1(2x-1)$ alcanza su mínimo en $\alpha=0$ y dicho mínimo es igual a $\frac{1}{2^2(2\cdot 1+1)}$ .
El último planteamiento conduce a la generalización excesiva $$ \min_{\deg q < n}\int_{0}^{1}\left(x^n+q(x)\right)^2\,dx = \frac{1}{(2n+1)\binom{2n}{n}^2}.$$